Базис Шаудера

<wikitex> Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда $X$ имеет базис Шаудера.

Определение:

Базисом Шаудера в банаховом пространстве $X$ называется множество его элементов $e_1, e_2 \dots e_n \dots$ такое, что у любого $x$ в $X$ существует единственное разложение $x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i$.

Примеры:

• ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
• в $L_p(E)$ и $C[a, b]$ тоже есть базис Шаудера
• но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в $X$ есть базис Шаудера, тогда между $x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k$ и $(\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)$ — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим $F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}$ — это линейное пространство. Так как ряд сходится, $F$ можно превратить в НП, определив норму как $\| \alpha \| = \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\|$. TODO: проверить, что относительно этой нормы F банахово

$T: F \to X$, определенный как $T\alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n$ — биективный линейный оператор.

$\sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n = \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i$, следовтательно, $\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|$, то есть $\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1$, то есть он ограничен.

Так как $F$ и $X$ — банаховы, по теореме Банаха об обратном операторе, обратный оператор также ограничен: $\|T^{-1}\| \le C$, то есть можно писать, что $\|\alpha\| \le C \|x\|$, или $\sup\limits_n\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|$. Получили, что $\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|$. Запишем оператор $T$ как $S_n + R_n$, тогда $R_n = T - S_n$, $\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C$, то есть нормы остаточных операторов ограничены одним и тем же числом. TODO: я ведь правильно распознал текст конспекта?

TODO: продолжение следует

Итак, если $X$ — банахово пространство с базисом (Шаудера?), $A:X \to X$ — компактный, $\forall \varepsilon > 0: A = A_1 + A_2$, где $\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty, \|A_n\| < \varepsilon$ — почти конечномерность компактного оператора.

</wikitex>