Комплексное евклидово пространство

//статья в разработке//

Определение:

Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{C}[/math] В [math]E[/math] задана эрмитова метрическая форма, т.е [math]G:\: E\times E\longrightarrow \mathbb{C}[/math] co свойствами: [math]1)\: G(\alpha x_{1}+\beta x_{2};y)=\alpha G(x_{1},y)+\beta G(x_{2},y)[/math], где [math]\alpha[/math] , [math]\beta[/math] - комплексные числа [math]2)\: G(x,y)=\overline{G(y,x)}[/math]; [math]G(x,x)=\overline{G(x,x)} \Longrightarrow G(x,x) \in \mathbb{R}[/math] [math]3)\: G(x,y) \ge 0;\: G(x,y)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}[/math]

NB 1: [math]G[/math] полуторалинейна: [math]G(x;\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\overline{\alpha}G(x,y_{1})+\overline{\beta}G(x,y_{2})[/math]

NB 2: [math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}; x,y \in E([/math]над [math] \mathbb{C})[/math]

NB 3: [math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}[/math]

[math]\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle _{G}}; \:\Vert\alpha x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle \alpha x,\alpha x\right\rangle _{G}}=\sqrt{\alpha\cdot\overline{\alpha}\cdot\left\langle x,x\right\rangle _{G}}=|\alpha|\cdot\Vert x\Vert_{G} [/math]

Примеры

[math]E = \mathbb{C}^{n}[/math] [math]\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\eta^{i}}[/math]

[math]\left\langle y,x\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\eta^{i}\overline{\xi^{i}}=\overline{\sum\overline{\eta^{i}}\xi^{i}}=\overline{\left\langle x,y\right\rangle }[/math]; [math]\left\langle x,x\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\xi^{i}}=\sum_{i=1}^{n}|\xi^{i}|^{2}\gt 0[/math]

Неравенство Шварца(Коши-Буняковского)

Теорема:

[math]\forall\: x,y\in \mathbb{C}:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0[/math], где [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math] [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle [/math] [math]= \lambda\cdot\overline{\lambda}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\overline{\left\langle x;y\right\rangle })+\left\langle y,y\right\rangle [/math] [math]= \Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+\lambda\cdot 2Re\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0[/math] - многочлен второй степени, все коэффициенты вещественные [math]D \le 0[/math] [math] D/4=(-Re\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\le0\Longrightarrow |Re\left\langle x,y\right\rangle |\le\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert[/math] - верно для [math]\forall x,y\in E[/math]. Назовём это неравенство [math](\times)[/math] - крестик. Трюк: пусть [math]\left\langle x,y\right\rangle = |\left\langle x,y\right\rangle|\cdot e^{i\varphi}[/math], где [math]\varphi=arg\left\langle x,y\right\rangle[/math]. Тогда пусть в [math](\times): y \longrightarrow y\cdot e^{i\varphi} \Longrightarrow \Vert e^{i\varphi}y\Vert=|e^{i\varphi}|\cdot\Vert y\Vert[/math] Заметим, что [math]\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle=\overline{e^{i\varphi}}\left\langle x,y \right\rangle[/math]

[math]\triangleleft[/math]