174
правки
Изменения
Нет описания правки
|definition='''Образом''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}</tex> ''(множество значений)''.
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X</tex>
|proof=
<tex>Ker\mathcal{A}</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>. Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k; \ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>.
<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex>
<tex>\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k)</tex>
Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>. получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex> Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex> Рассмотрим <tex>X = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex> <tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex> Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex> Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы, <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex> Пусть <tex>z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n</tex> Рассмотрим <tex>\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0</tex> в соответствии с <tex>(*)</tex>
Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A}</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>
Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</tex>
}}
== Источники ==
