Получение номера по объекту

Описание алгоритма

Номер данного комбинаторного объекта равен количеству меньших в лексикографическом порядке комбинаторных объектов (нумерацию ведём с 0). Все объекты меньшие данного можно разбить на непересекающиеся группы по длине совпадающего префикса. Тогда количество меньших объектов можно представить как сумму количеств объектов у которых префикс длины [math]i[/math] совпадает, а [math]i+1[/math] элемент лексикографически меньше [math]i+1[/math]-го в данном объекте ([math]i = 0..n-1[/math]). Следующий алгоритм вычисляет эту сумму

• numOfObject — искомый номер комбинаторного объекта.
• a[1..n] — данный комбинаторный обьект, состоящий из элементов множества [math]A[/math].
• d[i][j] - (количество комбинаторных объектов с префиксом от 1 до [math]i-1[/math] равным данному и с [math]i[/math]-м элементом равным [math]j[/math])

function NumOfObjectsFunc(a: list <A>) 
  numOfObject = 0                          
  for i = 1 to n do                        // перебираем элементы комбинаторного объекта
    for j = 1 to a[i] - 1 do               // перебираем элементы, которые в лексикографическом порядке меньше  рассматриваемого 
      if элемент j можно поставить на i-e место
        then numOfObject += d[i][j]
  return numOfObject

Сложность алгоритма — [math]O(nk) [/math], где [math]k[/math] - количество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Для битового вектора [math]k=2[/math]: возможны только 0 и 1. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Приведем примеры способов получения номеров некоторых из комбинаторных объектов по данному объекту.

Перестановки

Рассмотрим алгоритм получения номера в лексикографическом порядке по данной перестановке размера [math]n[/math].

• P[1..n] — количество перестановок данного размера.
• a[1..n] — данная перестановка.
• was[1..n] — использовали ли мы уже эту цифру в перестановке.

function NumOfPermutationFunc(a: list <A>)
  for i = 1 to n do                       // n - количество элементов в перестановке
    for j = 1  to a[i] - 1 do             // перебираем элемент, лексикографически меньший нашего, который  может стоять на i-м месте 
      if was[j] == false                    // если элемент j ранее не был использован
        then numOfPermutation += P[n - i]   // все перестановки с префиксом длиной i-1 равным нашему, и i-й элемент у которых  
                                              меньше нашего в лексикографическом порядке, идут раньше данной перестановки               
    was[a[i]] = true                       // i-й элемент использован            
  return numOfPermutation

Данный алгоритм работает за [math]O(n ^ 2) [/math].

Битовые вектора

Рассмотрим алгоритм получения номера [math]i[/math] в лексикографическом порядке данного битового вектора размера [math]n[/math]. Количество битовых векторов длины [math]n[/math] — [math]2^n[/math]. На каждой позиции может стоять один из двух элементов, независимо от того, какие элементы находятся в префиксе, поэтому поиск меньших элементов можно упростить до условия:

• numOfBitvector — искомый номер вектора.
• bitvector[1..n] — данный вектор.

function NumOfBitvectorFunc(bitvector: Binary)
  for i = 1 to n do                                         
   if bitvector[i] == 1  
        numOfBitvector += 2 ** (n - i)
  return numOfBitvector  

См. также

• Получение объекта по номеру

• Программирование в алгоритмах / С. М. Окулов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2002. стр.31