Алгоритмы на деревьях

Диаметр дерева - максимальная длина кратчашего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом.

Алгоритм: Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.

d[v] = max{u, v \in V, u \ne v} dist(u, v)

Возьмём вершину U такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние-диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.

Реализация:

int diameter(graph g) {

   bfs(int v) - заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин.

   v = u = w = 0;

   bfs(v);

for(i = 0; i < n; i++)

if (d[i] > d[u])

u = i;

bfs(u);

for(i = 0; i < n; i++)

if (d[i] > d[w])

w = i;

return d[w];

void dfs(int u)              
{
    visited[u] = true;                      //помечаем вершину как пройденную
    for (v таких, что (u, v) — ребро в G)   //проходим по смежным с u вершинам
        if (!visited[v])                    //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            dfs(v);
}

int main()
{
    ...                                     //задание графа G с количеством вершин n.
    visited.assign(n, false);               //в начале все вершины в графе не пройденные
    for (int i = 0; i < n; ++i)             //проходим по всем вершинам графа...
        if (!visited[i])                    //...не забыв проверить, были мы уже в очередной вершине или нет
            dfs(i);
    return 0;
}

Обоснование корректности: Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1) Докажем вспомогательную лемму: Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами. Доказательство: пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина a, b, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень > 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.

Запустив BFS от случайной вершины. Мы получим дерево BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка. Доказательство как про дерево DFS.

Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t.

Оценка производительности: Все операции кроме bfs - О(1) BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)