Вероятностное пространство, элементарный исход, событие

Основные определения

Определение:

Дискретным вероятностным пространством называется пара из некоторого (не более, чем счетного) множества [math]\Omega[/math] и функции [math]p\colon \Omega \to \mathbb R_+ [/math] ( [math]\Omega[/math] называется множеством элементарных исходов, [math]\omega \in \Omega[/math] - элементарным исходом), такая, что [math]\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1[/math].

[math]p[/math] называют дискретной вероятностной мерой, или дискретной плотностью вероятности.

[math]p(\omega)[/math] - вероятность элементарного исхода.

Определение:

Множество [math]A \subset \Omega[/math] называется событием.

[math]p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}[/math], то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Определение:

Прямым произведением вероятностных пространств [math]X=\langle\Omega_{1};p{}_{1}\rangle[/math] и [math]Y=\langle\Omega_{2};p{}_{2}\rangle[/math] называется такое вероятностное пространство [math]Z\:\langle\Omega;p\rangle \: = X\times Y[/math], что [math]\Omega=\Omega_{1}\times\Omega_{2}[/math]; [math] p(\omega_{1};\omega_{2}) = p(\omega_{1})\cdot p(\omega_{2})[/math]

Другими словами, [math]\Omega[/math] - множество всех пар элементарных исходов из [math]X[/math] и [math]Y[/math] (т.е. декартово произведение этих множеств).

Примеры вероятностных пространств

Честная монета

Множество исходов [math]\Omega = \left\{0,1\right\}[/math], где 0 - выпадает орел, 1 - выпадает решка. [math] p(0)=p(1)=0,5.[/math].
Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.

[math]\varnothing [/math]: [math] p(\varnothing)=0[/math]. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.

[math]\left\{0\right\} [/math]: [math] p(0)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.

[math]\left\{1\right\} [/math]: [math] p(1)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.

[math]\left\{0,1\right\} [/math]: [math] p(\left\{0,1\right\})=1[/math]. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.

Нечестная монета

Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако [math]p(0)=x, p(1) = 1 - x=y[/math], где [math]x,y \in \left[ 0,1 \right ][/math].

Игральная кость

Множество исходов [math]\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/math]. [math] p(i)= \frac {1}{6}[/math]. Рассмотрим некоторые события этого пространства.

[math]A=\left\{1,2,3 \right\}[/math] : [math]p(A)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/math]. Вероятность выпадения одного из трех чисел - 1, 2, 3 равна одной второй.

[math]B=\left\{2,4 \right\}[/math] : [math]p(B)=\frac {1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/math]. Числа 2 или 4 выпадут с вероятностью одна треть.

Колода карт

[math]\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\} \right\}[/math]. Здесь i - масть, j - достоинство карты.

Вероятность элементарного исхода этого пространства [math]p(\left \langle i,j\right \rangle)=\frac {1}{52}[/math].

Бесконечное вероятностное пространство

Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на [math]i[/math]-ом подбрасывании честной монеты в первый раз. Тогда вероятность исхода с номером [math]i[/math] равна: [math] p(A_{i}) = \frac {1}{2^{i} } [/math]. Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным [math] \frac {1}{2} [/math].

Найдем сумму этой прогрессии: [math] \sum \limits_{i=1}^{\infty} p(A_{i}) = \frac { b_{1} } { 1 - q } = \frac { \frac{1}{2} }{ 1 -\frac{1}{2} } = 1[/math]. Так как сумма всех элементарных исходов равна 1, то это множество является вероятностым пространством.

См. так же

1.Вероятностное пространство
2.Дискретное вероятностное пространство

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.