|
|
| Строка 16: |
Строка 16: |
| | # Как найти строку длины $m$ в строке длины $n$ с использованием z-функции и O(m) дополнительной памяти? | | # Как найти строку длины $m$ в строке длины $n$ с использованием z-функции и O(m) дополнительной памяти? |
| | # Задана строка. Пусть $p_1[i]$ - максимальная длина палиндрома нечетной длины с центром в позиции $i$. $p_0[i]$ - аналогично для четной длины. Модифицировать алгоритм поиска $z$-функции для построения $p_0$ и $p_1$. | | # Задана строка. Пусть $p_1[i]$ - максимальная длина палиндрома нечетной длины с центром в позиции $i$. $p_0[i]$ - аналогично для четной длины. Модифицировать алгоритм поиска $z$-функции для построения $p_0$ и $p_1$. |
| − | # Модифицировать алгоритм Ахо-Корасик так, чтобы не хранить все переходы, а только исходный бор и суффиксные ссылки, и время работы осталось прежним.
| + | </wikitex> |
| − | # Найти первые вхождения каждого из образцов в тексте за время O(длина текста + постр. автомата).
| |
| − | # Дано 2 бора A и B. Для всех вершин $u$ в $A$ найти самую глубокую вершину $v$ в $B$, соответствующую суффиксу $u$ (префикс-функция бора в боре). $O(|A| + |B|)$
| |
| − | # Дан набор образцов $\{p_i\}$. Определить, существует ли бесконечная вправо строка $t$, не содержащая $p_i$ как подстроки.
| |
| − | # Дан набор образцов $\{p_i\}$. Посчитать число строк длины $l$, содержащих хотя бы одну из $p_i$ как подстроку. $O(\sum |p_i|\cdot l\cdot \sigma)$. ($\sigma$ - размер алфавита)
| |
| − | # Дана строка $s$. Посчитать матрицу $A: ||a_ij|| = LCP(s[i .. n-1], s[j .. n-1])$; $i,j \ge 0$ за $O(|s|^2)$. (LCP - наибольший общий префикс двух строк)
| |
| − | # То же, что и в предыдущем задании, но для каждого фиксированного $i$ надо научиться получать строку с нуля за $O(|s|)$.
| |
| − | # Тандемный повтор - строка вида $a = bb$. Найти максимальный тандемный повтор за $O(n \log n)$, используя результат предыдущего задания. Указание: используйте алгоритм вида "разделяй и властвуй", разделите строку пополам, ответ либо лежит слева от точки деления, либо справа, либо пересекает ее.
| |
| − | # Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "максимальное ребро на пути из $u$ в $v$" Для решения задачи модифицировать метод двоичного подъема ($O(n\log n)$ - предобработка, $O(\log n)$ - ответ на запрос).
| |
| − | # Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(1)$.
| |
| − | # Дано взвешенное дерево. Разбить вершины его на множество путей (каждая вершина принадлежит ровно одному пути), чтобы путь от любой вершины до любой переходил с одного пути на другой не более $O(\log n)$ раз.
| |
| − | # Дано взвешенное дерево. Уметь отвечать на запросы "минимальное ребро на пути из $u$ в $v$" и "изменить весь ребра $uv$" за полином от логарифма.
| |
| − | # Дано взвешенное дерево. Уметь отвечать на запросы "сумма ребер на пути из $u$ в $v$" и "изменить весь ребра $uv$" за $O(\log n)$.
| |
| − | # Дан массив $a$. Посчитать массив $RMQ[i][j] = min(a[i] ... a[j])$ за $O(n^2)$.
| |
| − | # Модифицировать алгоритм Фараха-Колтона-Бендера, чтобы массив precalc занимал только $O(d)$ памяти для каждой маски.
| |
| − | # Свести задачу RMQ к задаче LCA линейного размера (указание: использовать декартово дерево)
| |
| − | # Докажите, что число различных как строки подстрок $s$ равно $n(n + 1) / 2$ - sum(lcp[i]).
| |
| − | # Найти самую длинную строку $p$, такую, что она входит в строку $t$ дважды и не пересекаясь. Решение должно работать за $SA + O(n)$, где $SA$ - время построения суффиксного массива.
| |
| − | # Использовать суффиксный массив для нахождения такой строки $p$, что $|p| \times $(число вхождений $p$ в $t$) было максимальным за $SA + O(n)$
| |
| − | # Пусть в алфавите есть ровно два символа. Построить такую строку $s$, что её суффиксный массив совпадает с данным, за $O(n)$.
| |
| − | # Обобщить алгоритм поиска наибольшей общей подстроки, если дано $k$ строк. Указание: используйте очередь c операцией минимум. Время работы равно $SA + O(\sum |p_i|)$, где $p_1$, $p_2$, ..., $p_k$ - заданные строки.
| |
| − | # Пусть $B(S)$ - бордеров $S$. Найти за $SA + O(n)$ сумму $\sum\limits_{i = 1}^{n} \sum\limits_{j = i}^{n} B(S[i..j])$.
| |
| − | # Найти строку над алфавитом $\{0, 1\}$, в которой $\Omega(n^2)$ различных как строки подстрок.
| |
| − | # Строка $s$ называется ветвящейся вправо в $t$, если существуют символы $c$ и $d$, такие что $c \ne d$ : $sc$ и $sd$ - подстроки $t$. Аналогично, ветвящаяся влево, если $cs$ и $ds$ - подстроки $t$. Найти самую длинную ветвящуюся влево и вправо подстроку $t$ за $SA + O(n)$.
| |
| − | # Найти количество ветвящихся влево и вправо строк для строки $t$. Считать только разные строки.
| |
| − | # Строка $s$ называется максимальным повтором в $t$, если 1) $s$ входит в $t$ не менее двух раз; 2) если $r$ входит в $t$ не менее двух раз, то $s$ - не является собственной подстрокой $r$. Доказать или опровергнуть, что все максимальные повторы равны по длине.
| |
| − | # Найти все максимальные повторы за $O(SA + n + ans)$.
| |
| − | # Петя забыл про спуск по счетчику в алгоритме Укконена. Привести пример строки, на которой полученный алгоритм будет работать дольше чем за $O(n)$.
| |
| − | # Привести пример, когда в алгоритме Укконена в одной итерации спуск происходит по $\Omega(n)$ реберам.
| |
| − | # Построить суффиксный массив по суффиксному дереву за $O(n)$.
| |
| − | # Построить суффиксное дерево по суффиксному массиву за $O(n)$.
| |
| − | # Определить число различных подстрок в строке с помощью суффиксного дерева за $ST + O(n)$. ($ST$ - время построения суффиксного дерева, суффиксный массив не использовать)
| |
| − | # Использовать суффиксный массив для нахождения такой строки $p$, что $|p| \times $(число вхождений $p$ в $t$) было максимальным за $ST + O(n)$
| |
| − | # Найти максимальную подстроку в строке, имеющую два непересекающихся вхождения за $ST + O(n)$.
| |
| − | # Найти строку максимальной длины, ветвящаяся влево и вправо за $ST + O(n)$.
| |
| − | # Найти подпалиндром максимальной длины за ST + O(n).
| |
| − | # Алгоритм Хьюи. Дано дерево, вершины которого раскрашенны в цвета, то есть задано отображение $col: V \to \{1..k\}$. С помощью LCA найти $dc: V \to \{1..k\}$, где $dc(u)$ - число различных цветов в поддереве с корнем в вершине $u$. Время работы - $O(DCU)$.
| |
| − | # Используя результат предыдущей задачи, найти наибольшую общую подстроку $k$ строк за $O(n + DSU)$.
| |
| − | # Найти наибольший общий подпалиндром за $ST + O(DSU)$.
| |
| − | # Найти наибольший максимальный повтор за $ST + O(n)$.
| |
| − | # Матроид с выкинутым элементом. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M\setminus x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Множества, не содержавшие $x$, остаются независимыми. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M\setminus x = \langle X \setminus x, \{A | A \in I, x \not\in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$ получившаяся конструкция $M\setminus x$ является матроидом.
| |
| − | # Матроид, стянутый по элементу. Пусть $M$ - матроид. Обозначим как $M/x$ матроид, где из носителя выкинут элемент $x$. Независимыми объявляются множества, которые ранее содержали $x$, после удаления из них этого элемента. Формально, если $M = \langle X, I\rangle$, то $M/x = \langle X \setminus x, \{A \setminus x | A \in I, x \in A\}\rangle$. Докажите, что для любых $M$ и $x$, таких что $\{x\}\in I$ получившаяся конструкция $M/x$ является матроидом.
| |
| − | # Прямая сумма матроидов. Пусть $M_1 = \langle X_1, I_1\rangle$ и $M_2=\langle X_2, I_2\rangle$ - матроиды с непересекающимися носителями ($X_1 \cap X_2 = \varnothing$). Обозначим как $M_1+M_2$ следующую конструкцию: $M_1 + M_2 = \langle X_1 \cup X_2, I = \{A \cup B|A \in I_1, B \in I_2\}$. Докажите, что сумма матроидов является матроидом.
| |
| − | # Разноцветные множества. Пусть $X$ - множество элементов, каждый из которых раскрашен в некоторый цвет. Будем называть независимыми множества, в которых все элементы разного цвета. Докажите, что эта конструкция является матроидом. Используйте определение матроида.
| |
| − | # Представьте конструкцию из предыдущего примера в виде прямой суммы универсальных матроидов.
| |
| − | # Является ли алгоритм Прима вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
| |
| − | # Является ли венгерский алгоритм вариантом алгоритма Радо-Эдмондса?
| |
| − | # Образуют ли паросочетания в двудольном графе семейство независимых множеств некоторого матроида?
| |
| − | # Рассмотрим кратчайшие пути из $s$ в $t$ в неориентированном невзвешенном графе. Назовем множество ребер независимым, если оно лежит на некотором кратчайшем пути. Образует ли эта конструкция семейство независимых множеств некоторого матроида?
| |
| − | # Аксиома баз. Докажите, что если $B_1$ и $B_2$ - базы матроида, то для любого $x \in B_1 \setminus B_2$ найдется $y \in B_2 \setminus B_1$, такой что $B_1 \setminus x \cup y$ тоже база.
| |
| − | # Обратная аксиома баз. Докажите, что если $B_1$ и $B_2$ - базы матроида, то для любого $y \in B_2 \setminus B_1$ найдется $x \in B_1 \setminus B_2$, такой что $B_1 \setminus x \cup y$ тоже база.
| |
| − | # Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуцию: $M^* = \langle X, \{A | \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
| |
| − | # Урезанный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M|_k$ следующую констркуцию: $M|_k = \langle X, \{A | A \in I, |A| \le k \}\rangle$. Докажите, что $M|_k$ является матроидом.
| |
| − | # Докажите теорему об аксиоматизации циклами.
| |
| − | # Докажите теорему о рангах.
| |
| − | # Докажите теорему об аксиоматизации рангами.
| |
| − | # Докажите теорему о замыкании.
| |
| − | # Докажите теорему об аксиоматизации замыканиями.
| |
| − | # Будем называть предматроидом пару $\langle X, I \rangle$, для которой выполнены аксимомы нетривиальности ($\varnothing \in I$) и наследования независимости ($A \subset B$, $B \in I$, тогда $A \in I$). Пусть в предматроиде для любой весовой функции верно работает жадный алгоритм Радо-Эдмондса. Докажите, что такой предматроид является матроидом.
| |
| − | # Будем называть два элемента $x$ и $y$ матроида параллельными, если пара $\{x, y\}$ образует цикл. Докажите, что если $A$ независимо $x \in A$, а $x$ и $y$ параллельны, то $A\setminus x\cup y$ также независимо.
| |
| − | # Рассмотрим носитель некоторого матроида, упорядочим произвольным образом его элементы: $X = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$. Пусть $Y = \left\{x_k \,|\, rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}, x_k\}) > rank(\{x_1, \ldots, x_{k-1}\})\right\}$. Докажите, что $Y$ независимо.
| |
| − | # Приведите пример матроида, который не является бинарным.
| |
| − | # Приведите пример матроида, который не является тернарным.
| |
| − | # Какие универсальные матроиды являются матричными?
| |
| − | # Приведите пример матроида, который не является изоморфен никакому матричному.
| |
| − | # Докажите, что двойственный к матричному матроид является матричным. Как устроена его матрица?
| |
| − | # Когда двойственный к графовому матроид является графовым?
| |
| − | # Докажите лемму о паросочетании в графе замен (формулировка тут: [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B5%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD], доказательство неправильное - неверный индукционный переход)
| |
| − | # Рассмотрим два матроида $M_1$ и $M_2$. Как связаны максимальное независимое множество пересечения $M_1 \cap M_2$ и база $M_1 \cup M_2^*$? ($M_2^*$ - матроид, двойственный $M_2$)
| |
