Префикс-функция

Определение:

Префикс-функция (англ. prefix-function) от строки — массив длин наибольших бордеров для каждой позиции этой строки

Здесь и далее считаем, что символы в строках нумеруются с [math]1[/math].

Определим префикс-функцию от строки [math]s[/math] в позиции [math]i[/math] следующим образом: [math]\pi(s, i) = \max\limits_{k = 1..i - 1} \{k : [/math] [math]s[1..k] = s[i - k + 1..i] \}[/math]. Если мы не нашли такого [math]k[/math], то [math]\pi(s, i)=0[/math].

Наивный алгоритм

Наивный алгоритм вычисляет префикс функцию непосредственно по определению, сравнивая префиксы и суффиксы строк. Обозначим длину строки за [math]n[/math].

Псевдокод

int[] prefixFunction(string s)
     fill([math]\pi[/math], 0)
     for i = 1 to n
         for k = 1 to i
             if s[1..k] == s[i - k + 1..i]
                 [math]\pi[/math][i] = k
     return [math]\pi[/math]

Пример

Рассмотрим строку [math]abcabcd[/math], для которой значение префикс-функции равно [math][0,0,0,1,2,3,0][/math].

Шаг	Строка	Значение функции
[math]1[/math]	a	0
[math]2[/math]	ab	0
[math]3[/math]	abc	0
[math]4[/math]	abca	1
[math]5[/math]	abcab	2
[math]6[/math]	abcabc	3
[math]7[/math]	abcabcd	0

Время работы

Всего [math]O(n^2)[/math] итераций цикла, на каждой из который происходит сравнение строк за [math]O(n)[/math], что дает в итоге [math]O(n^3)[/math].

Эффективный алгоритм

Вносятся несколько важных замечаний:

• Заметим, что [math]\pi[i + 1] \leqslant \pi[i] + 1[/math]. Чтобы показать это, рассмотрим суффикс,оканчивающийся на позиции [math]i + 1[/math] и имеющий длину [math]\pi[i + 1][/math], удалив из него последний символ, мы получим суффикс, оканчивающийся на позиции [math]i[/math] и имеющий длину [math]\pi[i + 1] - 1[/math], следовательно неравенство [math]\pi[i + 1] \gt \pi[i] + 1[/math] неверно.
• Избавимся от явных сравнений строк. Пусть мы вычислили [math]\pi[i][/math], тогда, если [math]s[i + 1] = s[\pi[i]][/math], то [math]\pi[i + 1] = \pi[i] + 1[/math]. Если окажется, что [math]s[i + 1] \ne s[\pi[i]][/math], то нужно попытаться попробовать подстроку меньшей длины. Хотелось бы сразу перейти к такому бордеру наибольшей длины, для этого подберем такое [math]k[/math], что [math]k = \pi(i) - 1[/math]. Делаем это следующим образом. За исходное [math]k[/math] необходимо взять [math]\pi(i - 1)[/math], что следует из первого пункта. В случае, когда символы [math]s[k+1][/math] и [math]s[i][/math] не совпадают, [math]\pi(k)[/math] — следующее потенциальное наибольшее значение [math]k[/math], что видно из рисунка. Последнее утверждение верно, пока [math]k\gt 0[/math], что позволит всегда найти его следующее значение. Если [math]k=0[/math], то [math]\pi(i)=1[/math] при [math]s[i] = s[1][/math] , иначе [math]\pi(i)=0[/math].

Псевдокод

int[] prefixFunction(string s)
     [math]\pi[/math][1] = 0
     for i = 2 to n
         k = [math]\pi[/math][i-1]
         while k > 0 and s[i] != s[k + 1] 
             k = [math]\pi[/math][k]
         if s[i] == s[k + 1]
             k++
         [math]\pi[/math][i] = k
     return [math]\pi[/math]

Время работы

Время работы алгоритма составит [math]O(n)[/math]. Для доказательства этого нужно заметить, что итоговое количество итераций цикла [math]\mathrm{while}[/math] определяет асимптотику алгоритма. Теперь стоит отметить, что [math]k[/math] увеличивается на каждом шаге не более чем на единицу, значит максимально возможное значение [math]k = n - 1[/math]. Поскольку внутри цикла [math]\mathrm{while}[/math] значение [math]k[/math] лишь уменьшается, получается, что [math]k[/math] не может суммарно уменьшиться больше, чем [math]n-1[/math] раз. Значит цикл [math]\mathrm{while}[/math] в итоге выполнится не более [math]n[/math] раз, что дает итоговую оценку времени алгоритма [math]O(n)[/math].

Построение префикс-функции по Z-функции

Постановка задачи

Дан массив с корректной [math] z-[/math] функцией для строки [math]s[/math], получить за [math]O(n)[/math] массив с префикс—функцией для строки [math]s[/math].

Описание алгоритма

Пусть [math]Z-[/math] функция хранится в массиве [math]z[1..n],[/math] префикс-функцию будем записывать в массив [math]p[1..n][/math]. Пойдем по массиву [math]z[/math] слева направо, заметим, что если [math]z[i] \gt 0, [/math] то для всех элементов с индексом [math]i + j[/math], где [math]0 \leqslant j \lt  z[i] [/math] значение [math]p[i + j] [/math] будет не меньше, чем длина подстроки с [math] i [/math] по [math] i + j[/math], что равно [math]j + 1, [/math] в силу определения префикс и [math]Z[/math] функции. Также заметим, что если мы уже установили значение в какое-то [math]p[k][/math] то менять уже не нужно, так как если мы установили в [math]j-[/math]ую позицию с позиции [math]k[/math], где [math]k \lt i[/math], то такое изменение только уменьшит значение [math] p[j][/math]. В итоге получаем алгоритм: идем слева направо по массиву [math]z[/math] и пусть мы сейчас находимся на позиции [math]i[/math], тогда пытаемся записать в [math]p[/math] от позиции [math]i + z[i] - 1 [/math] до [math]i[/math] значение [math] j - i + 1,[/math] где [math]j[/math] пробегает все значения [math] 0.. z[i] - 1[/math]. В итоге каждый элемент в [math]p[/math] будет просмотрен не более двух раз, то есть число операции будет не больше [math] 2 \cdot n[/math] откуда получаем асимптотику [math]O(n).[/math]

Псевдокод

int[] buildPrefixFunctionFromZFunction(int[] z)
  int[] p = new int[z.length]
  for i = 2 to z.length - 1
    for j = z[i] - 1 downto 0
      if p[i + j] > 0 
        break
      else
        p[i + j] = j + 1
  return p

Доказательство корректности

Пусть наш алгоритм неправильно посчитал какие-то значение [math]p[i][/math]. Пусть [math] ans[1..n][/math] это массив, содержащий корректную префикс-функцию. Рассмотрим позицию в которой наш алгоритм посчитал некорректно, пусть это позиция [math]i[/math]. Заметим, что [math]ans[i]\geqslant p[i][/math] так как алгоритм записывает длину подстроки, оканчивающуюся на [math]i[/math]—ом символе, соответственно правильный ответ, не может быть меньше нашего. Предположим, что [math]ans[i] \gt p[i], [/math] посмотрим на значение [math]z[i - ans[i] + 1][/math] оно больше либо равно [math]ans[i][/math]. Но тогда наш алгоритм бы записал в [math] p[i][/math] корректное значение.

Построение строки по префикс-функции

Постановка задачи

Восстановить строку по префикс-функции за [math]O(n)[/math], считая алфавит неограниченным.

Описание алгоритма

Пусть в массиве [math]p[/math] хранятся значения префикс-функции, в [math]s[/math] будет записан ответ. Пойдем по массиву [math]p[/math] слева направо.

Пусть мы хотим узнать значение [math]s[i][/math]. Для этого посмотрим на значение [math]p[i][/math]: если [math]p[i] =0[/math] тогда в [math]s[i][/math] запишем новый символ, иначе [math]s[i] = s[p[i]][/math]. Обратим внимание, что [math]s[p[i]][/math] нам уже известно, так как [math]p[i] \lt i[/math].

Реализация

string buildFromPrefix(int[] p):
  s = "" 
  for i = 0 to p.length - 1
      if p[i] == 0     
          s += new character
      else
          s += s[p[i]]
  return s

Доказательство корректности алгоритма

Докажем, что если нам дали корректную префикс-функцию, то наш алгоритм построит строку с такой же префикс-функцией. Также заметим, что строк с такой префикс-функцией может быть много, и алгоритм строит только одну из них.

Пусть [math]p[/math] данная префикс-функция, [math]s'[/math] правильная строка, строку [math]s[/math] построил наш алгоритм, [math] q [/math] массив значений префикс-функции для [math]s[/math].

Докажем корректность индукцией по длине массива префикс-функции полученной строки. Для начала заметим, что на предыдущие значения массива [math] q [/math] прибавление нового символа не влияет, так как при подсчёте префикс-функции на [math] i [/math]-ой позиции рассматриваются символы на позициях не больше [math] i [/math]. Поэтому достаточно показать, что очередное значение префикс-функции будет вычислено правильно.

• База очевидна для строки длины [math]1[/math].
• Переход: пусть до [math]n[/math]-ой позиции мы построили строку, что [math]p[1..n - 1] = q[1..n - 1][/math]. Возможны два случая:
  • [math]p[n] = 0[/math]. Тогда мы добавляем новый символ, поэтому [math]q[n][/math] тоже будет равно [math]0[/math].
  • [math]p[n] \gt 0[/math]. По свойствам префикс-функции [math] s'[p[n]] = s'[n] [/math] — суффикс и префикс строки [math] s' [/math] длины [math] p[n] [/math] продолжаются одним символом, значит, надо на текущую позицию строки [math] s [/math] поставить символ [math] s[p[n]] [/math]. Если значение префикс-функции увеличивается, значит, текущим символом продолжается префикс длины [math] p[n - 1] [/math], а из свойств следует, что [math] p[n - 1] \geqslant p[n] - 1 [/math]. По предположению индукцию значение [math] q[n - 1] [/math] будет вычислено верно. А если значение префикс-функции не увеличивается, значит, символ [math] s[n] [/math] должен продолжить префикс меньшей длины, а в текущее значение префикс-функции запишется как раз длина нового бордера. Для этого будут использованы значения префикс-функции с меньшими индексами, которые посчитаны верно, опять же по предположению индукции.

См. также

• Z-функция
• Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта

Источники информации

• Википедия — Префикс-функция
• MAXimal :: algo — Префикс-функция
• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 1296 ISBN 978-5-8459-0857-5