Функция Мебиуса — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства)
(Свойства)
Строка 10: Строка 10:
 
==== Свойства ====
 
==== Свойства ====
 
*1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
 
*1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
** <tex> \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) </tex>. Если '''m''' или '''n''' <tex> \vdots p^2 </tex>, то <tex> 0 = 0</tex>. Иначе пусть <tex> n=\prod p_i, m=\prod p_j </tex>, где <tex> k_n, k_m </tex> {{---}} количество чисел в произведении, соответственно. <tex> \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} </tex> ч.т.д.
+
** <tex> \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) </tex>. Если '''m''' или '''n''' <tex> \vdots p^2 </tex>, то <tex> 0 = 0</tex>. Иначе пусть <tex> n=\prod p_i, m=\prod p_j </tex>, и <tex> k_n, k_m </tex> {{---}} количество чисел в произведении, соответственно. <tex> \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} </tex> ч.т.д.
 
*2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
 
*2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
 
: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>
 
: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>

Версия 18:36, 12 октября 2010

Функция Мёбиуса

Определение:
Функция Мёбиуса [math] \mu (a) [/math] определяется для всех целых положительных a. Она задается равенствами:
  • [math] \mu (a) = 0 [/math], если a делится на квадрат, отличный от 1.
  • [math] \mu (a) = {(-1)}^k [/math], если a не делится на квадрат, где k — число простых делителей a.


Свойства

  • 1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
    • [math] \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) [/math]. Если m или n [math] \vdots p^2 [/math], то [math] 0 = 0[/math]. Иначе пусть [math] n=\prod p_i, m=\prod p_j [/math], и [math] k_n, k_m [/math] — количество чисел в произведении, соответственно. [math] \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} [/math] ч.т.д.
  • 2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю
[math]\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\gt 1.\end{cases}[/math]