Функция Эйлера

Функция Эйлера

Определение:

Функция [math]f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z} [/math] называется мультипликативной, если [math]f(mn) = f(m)f(n)[/math] для любых взаимно-простых [math]m, n[/math].

Определение:

Функция Эйлера [math]\varphi (n) [/math] - определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих [math]n[/math] и взаимно-простых с [math]n[/math].

Теорема (Мультипликативность функции Эйлера):

Для любых взаимно-простых чисел [math]m, n[/math] [math]\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n).[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Запишем [math]nm[/math] натуральных чисел, не превосходящих [math]nm[/math], в виде прямоугольной таблицы с [math]n[/math] столбцами и [math]m[/math] строками, располагая первые [math]n[/math] чисел в первой строке, вторые [math]n[/math] чисел во второй и т.д. Поскольку [math]n[/math] и [math]m[/math] взаимно-просты, то целое [math]s[/math] взаимно-просто с [math]nm[/math] если и только если оно взаимно-просто как с [math]n[/math], так и с [math]m[/math]. Итак, нужно доказать, что количество чисел в таблице, взаимно-простых с [math]n[/math] и с [math]m[/math] равно [math]\varphi(m)\varphi(n)[/math]. Мы знаем, что число [math]s[/math] взаимно-просто с натуральным [math]k[/math] если и только если его остаток при делении на [math]k[/math] взаимно-просто с [math]k[/math]. Поэтому, числа в таблице, взаимно-простые с [math]n[/math], заполняют ровно [math]\varphi(n)[/math] столбцов таблицы. Давайте рассмотрим [math]m[/math] последовательных членов арифметической прогрессии [math]a, a + d, \dots , a + (m - 1)d[/math]. Тогда, если [math]GCD(d, m) = 1[/math], то остатки всех этих [math]m[/math] чисел по модулю [math]m[/math] разные, а значит образуют все множество остатков [math]\{0, \dots , m - 1\}[/math], причем каждый остаток получается ровно из одного из членов прогрессии. Подставив в данные рассуждения [math]d = n[/math], получим, что в каждом столбце таблицы имеется ровно [math]\varphi(m)[/math] чисел, взаимно-простых с [math]m[/math]. Следовательно всего чисел, взаимно-простых и с [math]n[/math] и с [math]m[/math] равно [math]\varphi(m)\varphi(n)[/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Функции [math]\sigma(n)[/math], [math]\tau(n)[/math] и [math]\varphi(n)[/math], их мультипликативность и значения

Функция [math]\sigma(n)[/math]

Каноническое разложение числа [math]\displaystyle n = \prod_{i=1}^{r}p_i^{s_i} [/math]

Функция [math]\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N} [/math] определяется как сумма делителей натурального числа [math]n[/math]:

[math]\displaystyle\sigma(n) = \sum_{d | n}d [/math]

Для простого числа [math]p[/math] легко посчитать [math]\displaystyle\sigma(n) = \sum_{k=0}^{}d [/math]

Функция [math]\sigma(n)[/math] мультипликативна. Значит [math]\displaystyle\sigma(n) = \sum_{d | n}d [/math]

sigma и tau функции, их мультипликативность и значение

Примеры:

[math] \varphi (1) = 1[/math], [math] \varphi (4) = 2[/math],
[math] \varphi (2) = 1[/math], [math] \varphi (5) = 4[/math],
[math] \varphi (3) = 2[/math], [math] \varphi (6) = 2[/math].

Свойства функции Эйлера

• 1. Доказательство: [math] \varphi (p) = p-1 [/math], p — простое, [math] \varphi (p^{\alpha}) = p^{\alpha} - p^{\alpha - 1}[/math].
  • Логически понятно, если строго, то выводится из 2 свойства.
• 2. Пусть [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, тогда

[math] \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})[/math].

• • Доказательство: Пусть [math] x [/math] пробегает числа [math] 0,1,2,\ldots,a-1[/math], положим [math] \sigma_x = (a, x)[/math] — НОД. Тогда [math] \varphi(a) [/math] есть число значений [math] \sigma_x [/math], равных единице. Возьмем функцию, которая равна единице, если [math] \sigma_x = 1[/math], и равна нулю в остальных случаях. Вот такая функция : [math]\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\gt 1.\end{cases}[/math], где [math] \mu(a) [/math] — функция Мебиуса. Отсюда [math] \varphi(a) = \sum_{0 \le x \le a-1}(\sum_{d | a} \mu(d))[/math]. Поскольку справа сумма в скобках берется по всем делителям d числа [math] \sigma_x = ( x , a )[/math], то d делит x и a . Значит в первой сумме справа в суммировании участвуют только те x , которые кратны d . Таких x среди чисел [math] 0,1,2,\ldots,a-1[/math] ровно [math] \frac{a}{d} [/math] штук. Получается, что [math] \varphi(a) = \sum_{d | a} \frac{a}{d}\mu(d) = a\sum_{d | a} \frac{\mu(d)}{d} = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})[/math].

• 3. Функция Эйлера является мультипликативной [math] \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) [/math].
  • Вытекает из первого свойства.

Еще примеры

• [math] \varphi(60) = 60(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{5}) = 16[/math]
• [math] \varphi(81) = 81 - 27 = 54 [/math]