Функция Мебиуса

Функция Мёбиуса

Определение:

Функция Мёбиуса [math] \mu (a) [/math] определяется для всех целых положительных a. Она задается равенствами: [math] \mu (a) = 0 [/math], если a делится на квадрат простого числа, отличный от 1. [math] \mu (a) = {(-1)}^k [/math], если a не делится на квадрат простого числа, где k — число простых делителей a.

Свойства

• 1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
  • Доказательство: [math] \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) [/math]. Если m или n [math] \vdots p^2 [/math], то [math] 0 = 0[/math]. Иначе пусть [math] n=\prod p_i, m=\prod p_j [/math], и [math] k_n, k_m [/math] — количество чисел в произведении, соответственно. [math] \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} [/math] ч.т.д.
• 2. Пусть [math] \theta (a) [/math] — мультипликативная функция, и [math] a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}[/math] — каноническое разложение числа a, тогда [math] \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))[/math].
  • Доказательство: [math] \mu(a) , \theta(a)[/math] — мультипликативны, значит [math] \theta_1 (a) = \mu(a)\theta(a) [/math] тоже мультипликативна. Пусть p — простое, значит [math] \mu(p) = -1 [/math], поэтому [math] \theta_1(p) = -\theta(p)[/math]. Также [math] \mu(p^s) =0(s \ge 2)[/math], значит [math] \theta_1(p^s) = 0 [/math]. Теперь применим свойство о сумме, распространенной на все делители некоторого числа, мультипликативной функции, откуда получим [math] \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))[/math].
• 3. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю

[math] \sum_{d | n} \mu(d) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if } n = 1 \\ 0 & \mbox{if } n \gt 1 \end{array} \right. [/math]

• Доказательство: Воспользуемся свойством 2, где [math] \theta(a) = 1[/math].