Z-функция

Определение

Z-функция от строки [math]S[/math] и позиции [math]x[/math] — это длина максимального префикса подстроки, начинающейся с позиции [math]x[/math] в строке [math]S[/math], который одновременно является и префиксом всей строки [math]S[/math]. Значение [math]Z[/math]-функции от первой позиции не определено, поэтому его обычно приравнивают к нулю или к длине строки.

Примечание: далее в конспекте символы строки нумеруются с нуля.

Тривиальный алгоритм

Простая реализация за [math]O(n^2)[/math], где [math]n[/math] — длина строки. Для каждой позиции [math]i[/math] перебираем для неё ответ, начиная с нуля, пока не обнаружим несовпадение или не дойдем до конца строки.

Псевдокод

[math]n = length(s)[/math]

 int[] zFunction(string s)
   int[] zf = int[n]
   for i = 1 .. n
     while (i + zf[i] < n) and (s[zf[i]] == s[i + zf[i]])
       zf[i]++
   return zf

Эффективный алгоритм поиска

Z-блоком назовем подстроку с началом в позиции [math]i[/math] и длиной [math]Z[i][/math].
Для работы алгоритма заведём две переменные: [math]left[/math] и [math]right[/math] — начало и конец Z-блока строки [math]S[/math] с максимальной позицией конца [math]right[/math] (среди всех таких Z-блоков, если их несколько, выбирается наибольший). Изначально [math]left=0[/math] и [math]right=0[/math]. Пусть нам известны значения Z-функции от [math]0[/math] до [math]i-1[/math]. Найдём [math]Z[i][/math]. Рассмотрим два случая.

1) [math]i \gt right[/math]:
Просто пробегаемся по строке [math]S[/math] и сравниваем символы на позициях [math]S[i+j][/math] и [math]S[j][/math]. Пусть [math]j[/math] первая позиция в строке [math]S[/math] для которой не выполняется равенство [math]S[i+j] = S[j][/math], тогда [math]j[/math] это и Z-функция для позиции [math]i[/math]. Тогда [math]left = i, right = i + j - 1[/math]. В данном случае будет определено корректное значение [math]Z[i][/math] в силу того, что оно определяется наивно, путем сравнения с начальными символами строки.

2) [math]i \leqslant right[/math]:
Сравним [math]Z[i - left] + i[/math] и [math]right[/math]. Если [math]right[/math] меньше, то надо просто наивно пробежаться по строке начиная с позиции [math]right[/math] и вычислить значение [math]Z[i][/math]. Корректность в таком случае также гарантированна. Иначе мы уже знаем верное значение [math]Z[i][/math], так как оно равно значению [math]Z[i - left][/math].

Время работы

Этот алгоритм работает за [math]O(\lvert S\rvert)[/math], так как каждая позиция пробегается не более двух раз: при попадании в диапазон от [math]left[/math] до [math]right[/math] и при высчитывании Z-функции простым циклом.

Псевдокод

[math]n = length(s)[/math]

 int[] zFunction(string s)
   int[] zf = int[n]
   int left = 0, right = 0
   for i = 0 .. n
     zf[i] = max(0, min(right - i, zf[i - left]))
     while (i + zf[i] < n) and (s[zf[i]] == s[i + zf[i]])
       zf[i]++
     if i + zf[i] >= right
       left = i
       right = i + z[i]
   return zf

Поиск подстроки в строке с помощью Z-функции

Образуем строку [math]s = needle + "\#" + source[/math], где [math]\#[/math] — символ, не встречающийся ни в source, ни в needle. Вычисляем Z-функцию от этой строки. В полученном массиве, в позициях в которых значение z-функции равно length(needle), по определению начинается подстрока, совпадающая с needle.

Псевдокод

[math]n = length(source)[/math]
[math]m = length(needle)[/math]

 int substringSearch(string source, string needle)
   int[] zf = zFunction(needle + '#' + source)
   for i = m+1 .. n+m+1
     if sf[i] == m 
       return i

Источники информации

• Поиск подстроки и смежные вопросы — Хабр
  
• Википедия — Z-функция