ДМП-автоматы и неоднознчность

Эта статья находится в разработке!

Теоремы

Теорема (1):

Если [math]L=N(P)[/math] для некоторого ДМП автомата [math]P[/math], то [math]L[/math] имеет однозначную КС-грамматику

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Утверждаем, что конструкция теоремы порождает однозначную КС-грамматику [math]G[/math], когда МП-автомат, к которому она применяется, детерминирован. Вначале вспомним (см. теорему 5.29), что для однозначности грамматики [math]G[/math] достаточно показать, что она имеет уникальные левые порождения. Предположим, [math]P[/math] допускает [math]w[/math] по пустому магазину. Тогда он делает это с помощью одной-единственной последовательности переходов, поскольку он детерминирован и не может работать после опустошения магазина. Зная эту последовательность переходов, мы можем однозначно определить выбор каждой продукции в левом порождении [math]w[/math] в [math]G[/math]. Правило автомата [math]P[/math], на основании которого применяется продукция, всегда одно. Но правило, скажем, [math]\delta(q, a, X) = \{(r, Y_1Y_2...Y_k)\}[/math], может порождать много продукций грамматики [math]G[/math], с различными состояниями в позициях, отражающих состояния [math]P[/math] после удаления каждого из [math]Y_1[/math], [math]Y_2[/math], ..., [math]Y_k[/math]. Однако, поскольку [math]P[/math] детерминирован, осуществляется только одна из этих последовательностей переходов, поэтому только одна из этих продукций в действительности ведет к порождению [math]w[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (2):

Если [math]L=L(P)[/math] для некоторого ДМП-автомата [math]P[/math], то [math]L[/math] имеет однозначную КС-грамматику

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\$[/math] будет “концевым маркером”, отсутствующим в цепочках языка [math]L[/math], и пусть [math]L` = L\$[/math]. Таким образом, цепочки языка [math]L`[/math] представляют собой цепочки из [math]L[/math], к которым дописан символ [math]\$[/math]. Тогда [math]L`[/math] имеет префиксное свойство, и [math]L` = N(P`)[/math] для некоторого ДМП-автомата [math]P`[/math]. По теореме 1 существует однозначная грамматика [math]G`[/math], порождающая язык [math]N(P`)[/math], т.е. [math]L`[/math]. Теперь по грамматике [math]G`[/math] построим [math]G[/math], для которой [math]L(G) = L[/math]. Для этого нужно лишь избавиться от маркера [math]\$[/math] в цепочках. Будем рассматривать [math]\$[/math] как переменную грамматики [math]G[/math] и введем продукцию [math]\$ \rightarrow \epsilon[/math]; остальные продукции [math]G[/math] и [math]G`[/math] одинаковы. Поскольку [math]L(G`) = L`[/math], получаем, что [math]L(G) = L[/math]. Утверждаем, что [math]G[/math] однозначна. Действительно, левые порождения в [math]G[/math] совпадают с левыми порождениями в [math]G`[/math], за исключением последнего шага в [math]G[/math] — изменения [math]\$[/math] на [math]\epsilon[/math]. Таким образом, если бы терминальная цепочка [math]w[/math] имела два левых порождения в [math]G[/math], то [math]w\$[/math] имела бы два порождения в [math]G`[/math]. Поскольку [math]G`[/math] однозначна, [math]G[/math] также однозначна.

[math]\triangleleft[/math]