Код Шеннона

Код Шеннона — алгоритм префиксного кодирования алфавита, предложенный Клодом Шенноном, в котором используется избыточность сообщения, заключённая в неоднородном распределении частот символов первичного алфавита, то есть заменяет коды более частых символов короткими последовательностями, а коды более редких символов — более длинными последовательностями.

Вход: [math]A=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}[/math] — алфавит из [math]n[/math] различных символов с вероятностями [math]P=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{n}\}[/math].

Выход: [math]C=\{c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\}[/math] — набор кодовых слов, соответствующий входным данным.

Определение

Определение:

Пусть [math]A=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}[/math] — алфавит из [math]n[/math] различных символов, которому соответствует набор вероятностей [math]P=\{p_{1},p_{2},\dots,p_{n}\}[/math] такой, что [math]p_{x} \geq p_{y}[/math], [math]x \gt y[/math]. [math]b_{x}=\sum\limits_{i \in [1, x - 1]}p_{i}[/math]. Тогда набор бинарных кодов [math]C=\{c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\}[/math], такой, что: 1. [math]c_{i}[/math] не является префиксом для [math]c_{j}[/math], при [math]i \ne j[/math] 2. [math]c_{i}[/math] представляет собой [math]\lceil -\log p_{i}\rceil[/math] коэффициентов двоичного разложения числа [math]{b_{i}}[/math] называется кодом Шеннона.

Алгоритм построения бинарного кода Шеннона

Пусть нам даны наборы [math]A[/math] и [math]P[/math], тогда для нахождения кодовых слов необходимо:

1. Отсортировать элементы алфавита по не возрастанию вероятности встречи символа.
2. Элементу [math]a_{x}[/math] поставить в соответствие число [math]b_{x}=\sum\limits_{i \in [1, x - 1]}p_{i}[/math], при этом [math]b_{1}=0[/math].
3. Представить каждое число [math]{b_{x}}[/math] в виде двоичной дроби.
4. В качестве кодового слова для [math]a_{x}[/math] использовать первые [math]L_{x}=\lceil -\log p_{x}\rceil[/math] коэффициентов представления [math]{b_{x}}[/math]. ([math]\lceil z \rceil[/math] — наименьшее целое число, не меньшее [math] z [/math])

Пример

Для примера возьмём алфавит [math]A=\{a,b,c,d,e,f\}[/math] и набор [math]P[/math]:

Символ	a	b	c	d	e	f
[math]p_{x}[/math]	0.10	0.20	0.10	0.10	0.35	0.15

По алгоритму сортируем элементы алфавита по не возрастанию [math]p_{x}[/math]:

Символ	e	b	f	a	c	d
[math]p_{x}[/math]	0.35	0.20	0.15	0.10	0.10	0.10

Каждому символу [math]a_{x}[/math] сопоставляем [math]b_{x}[/math]:

Символ	e	b	f	a	c	d
[math]b_{x}[/math]	0.00	0.35	0.55	0.70	0.80	0.90

Переведём [math]b_{x}[/math] в двоичную систему счисления:

Символ	e	b	f	a	c	d
[math]b_{x}[/math]	0.00000	0.01010	0.10001	0.10110	0.11001	0.11100

Посчитаем [math]L_{x}[/math] и запишем коды:

Символ	e	b	f	a	c	d
[math]L_{x}[/math]	2	3	3	4	4	4
Код	00	010	100	1011	1100	1110

Утверждение:

Код Шеннона является префиксным

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства выбираем два произвольных кодовых слова с номерами [math]i[/math] и [math]j[/math], [math]i[/math][math]\lt [/math][math]j[/math]. Кодовое слово [math]c_{i}[/math] заведомо короче, чем [math]c_{j}[/math], поэтому достаточно доказать, что эти слова отличаются в одном из первых [math]L_{i}[/math] символов. Рассмотрим разность: [math]b_{j} - b_{i}[/math] = [math]\sum\limits_{k \in [1, j - 1]}p_{k} - \sum\limits_{k \in [1, i - 1]}p_{k} = \sum\limits_{k \in [i, j - 1]}p_{k} \geqslant p_{i}[/math]. Длина слова и его вероятность связаны соотношением [math]L_{i} = \lceil -\log p_{i}\rceil \geqslant -\log p_{i}[/math]. Поэтому [math]p_{i} \geqslant 2^{-L_{i}}[/math]. С учётом этого неравенства получаем, что [math]b_{j} - b_{i} \geqslant 2^{-L_{i}}[/math]. В двоичной записи числа в правой части мы имеем после запятой [math]L_{i} - 1[/math] нулей и единицу в позиции с номером [math]L_{i}[/math]. Поэтому по меньшей мере в одном из [math]L_{i}[/math] разрядов слова [math]c_{i}[/math] и [math]c_{j}[/math] отличаются и, следовательно, [math]c_{i}[/math] не является префиксов для [math]c_{j}[/math]. Это верно для любой пары слов, так как [math]i[/math] и [math]j[/math] были выбраны произвольно. Значит, код является префиксным.

[math]\triangleleft[/math]

Примечание

Кодовое дерево для метода Шеннона

Код Шеннона является достаточно старым методом сжатия, который не представляет практического применения на сегодняшний день. Это связано с тем, что в общем случае длина последовательности полученная кодированием Шеннона равна длине последовательности, полученной алгоритмом Хаффмана. Но можно привести примеры, на которых метод Шеннона формирует неоптимальные коды. Например, если [math]A=\{a,b,c,d\}[/math] и набор [math]P[/math]:

Символ	a	b	c	d
[math]p_{x}[/math]	0.65	0.15	0.15	0.5
[math]b_{x}[/math]	0	0.65	0.80	0.95
[math]L_{x}[/math]	1	3	3	5
Код	0	101	110	1111

Изобразим полученный результат в виде кодового дерева. Из этого рисунка видно, что полученные кодовые слова для букв [math]d[/math] и [math]b[/math] не являются оптимальными, так как их можно сократить на один бит без потери свойства однозначной декодируемости. Поэтому более эффективным считается сжатие метод Хаффмана.

См.также

• Алгоритм LZW
• Арифметическое кодирование

Источники информации

• Ю. М. Штарьков, “Обобщенные коды Шеннона”, Пробл. передачи информ., 20:3 (1984), 3—16 — с. 4.
• Б. Д. Кудряшов Теория информации. С.—Пб.: Питер, 2009 — с. 36.