Теорема о базах

Определение:

База (англ. base) — максимальное по включению независимое множество. То есть [math]B \in I[/math] — база, если [math] \forall A \in I : B \subseteq A \Rightarrow A = B [/math].

Теорема (о равномощности баз):

Пусть [math]B_1[/math] и [math]B_2[/math] — базы матроида [math]M[/math]. Тогда [math]|B_1| = |B_2|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство от противного. Пусть [math]|B_1| \gt |B_2|[/math]. Тогда по третьей аксиоме определения матроида [math]\exists x \in B_1 \setminus B_2[/math] такой, что [math]B_2 \cup {x} \in I[/math]. То есть [math]B_2[/math] — не максимальное по включению независимое множество, что противоречит определению базы. Случай [math]|B_2| \gt |B_1|[/math] разбирается аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (о базах):

Пусть [math]M[/math] — матроид и [math]\mathcal{B}[/math] — семейство его баз. Тогда: [math]\mathcal{B} \ne \varnothing[/math]; если [math]B_1, B_2 \in \mathcal{B}[/math] и [math]B_1 \ne B_2[/math], то [math]B_1 \nsubseteq B_2[/math] и [math]B_2 \nsubseteq B_1[/math]; если [math]B_1, B_2 \in \mathcal{B}[/math], то для [math]\forall b_1 \in B_1 \: \exists b_2 \in B_2 [/math] такой, что [math](B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in \mathcal{B}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Следует из первой аксиомы определения матроида. Из теоремы о равномощности баз следует, что [math]\neg (B_1 \subset B_2)[/math] и [math]\neg (B_2 \subset B_1)[/math]. А с условием [math]B_1 \ne B_2[/math] получаем [math]B_1 \nsubseteq B_2[/math] и [math]B_2 \nsubseteq B_1[/math]. По второй аксиоме определения матроида [math]\forall b_1 \in B_1[/math] верно, что [math](B_1 \setminus b_1) \in I[/math]. По теореме о равномощности баз [math]|B_2|\gt |B_1 \setminus b_1|[/math]. Значит по третьей аксиоме определения матроида [math]\exists b_2 \in B_2 [/math] такой, что [math](B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in I[/math]. А так как [math]|(B_1 \setminus b_1) \cup b_2| = |B_1| \:[/math] и [math]B_1[/math] — база, то [math](B_1 \setminus b_1) \cup b_2 \in \mathcal{B}[/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Сильная теорема о базах

Для доказательства сильной теоремы о базах нам понадобится альтернативное определение оператора замыкания.

Определение:

Пусть [math]M =\; \langle X,I \rangle[/math] — матроид. Тогда замыкание (англ. closure) множества [math]A \subseteq X[/math] — это множество [math]\langle A \rangle \subseteq X[/math] такое, что [math]\langle A \rangle = \mathcal {f} x \in X \; |\; r(A \cup x) = r(A) \mathcal {g}[/math], где [math]r: 2^X \to \mathbb{N}[/math] - ранговая функция

Лемма (о свойствах замыкания):

1. Если [math]A \subseteq B[/math], то [math]\langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle[/math] 2. Если [math]e \in \langle A \rangle[/math], то [math]\langle A \cup e \rangle = \langle A \rangle[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]e \in \langle A \rangle[/math]. По полумодулярности ранговой функции имеем: [math]r(A \cup e) + r(B) \geqslant r((A \cup e) \cap B) + r(B \cup e) \geqslant r(A) + r(B \cup e)[/math]. По определению замыкания, [math]r(A \cup e) = r(A)[/math], следовательно, [math]r(B) \geqslant r(B \cup e)[/math], но [math]r(B \cup e) \geqslant r(B)[/math] (по определению ранговой функции), значит, [math]r(B) = r(B \cup e)[/math], что, в свою очередь, значит, что [math]e \in \langle B \rangle[/math]. В силу произвольности [math]e: \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle[/math]. По пункту 1 очевидно, что [math]\langle A \rangle \subseteq \langle A \cup e \rangle[/math]. Докажем обратное: [math]\langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle[/math]. Рассмотрим [math]f \in \langle A \cup e \rangle[/math]. По полумодулярности ранговой функции имеем: [math]r(A \cup e) + r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r((A \cup e) \cap (A \cup f)) \geqslant r(A \cup e \cup f) + r(A)[/math]. Но [math]r(A \cup e) = r(A)[/math] (так как [math]e \in \langle A \rangle[/math]), значит, [math]r(A \cup f) \geqslant r(A \cup e \cup f)[/math], что в свою очередь влечет [math]r(A \cup f) = r(A \cup e \cup f)[/math]. Но так как [math]f \in \langle A \cup e \rangle[/math] и [math]e \in \langle A \rangle[/math], [math]r(A) = r(A \cup e) = r(A \cup e \cup f) = r(A \cup f)[/math]. Следовательно, по определению, [math]f \in \langle A \rangle[/math]. В силу произвольности [math]f: \langle A \cup e \rangle \subseteq \langle A \rangle[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (о циклах):

Пусть [math]M = \langle X, I \rangle[/math] — матроид, [math]A \in I, a \notin A, A \cup a \notin I[/math]. Тогда: [math]\exists ! \ C \subseteq A \cup a[/math] — цикл [math]\forall b \in C, (A \cup a) \setminus b \in I[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем единственность. Так как [math]A \cup a \notin I[/math], найдется цикл [math]C_1 \subseteq A \cup a[/math]. Пусть существует и другой цикл [math]C_2 \subseteq A \cup a, C_2 \neq C_1[/math]. Тогда, так как [math]A \in I[/math], [math] a \in C_1[/math] и [math]a \in C_2[/math]. Из теоремы о циклах заключаем, что в таком случае [math]\exists C[/math] - цикл, [math]C \subseteq C_1 \cap C_2 \setminus a[/math]. Но это невозможно, так как [math]C_1 \cap C_2 \setminus a \subseteq A \in I[/math], следовательно, предположение неверно, и [math]C_2 = C_1[/math]. Пусть [math]\exists b \in C[/math], такой, что [math](A \cup a) \setminus b \notin I[/math]. Значит, [math](A \cup a) \setminus b[/math] содержит цикл [math]C' \neq C[/math]. Но тогда его содержит и [math]A \cup a[/math], что противоречит пункту 1 леммы. Следовательно, [math]\forall b \in C, (A \cup a) \setminus b \in I[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Сильная теорема о базах):

Пусть [math]M = \langle X, I \rangle[/math] — матроид и [math]\mathcal{B}[/math] — семейство его баз. Тогда [math]\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B} : \forall x \in B_1 \setminus B_2 : \exists y \in B_2 \setminus B_1[/math] такой, что [math](B_1 \setminus x) \cup y \in \mathcal{B}[/math] и [math](B_2 \setminus y) \cup x \in \mathcal{B}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]x \in B_1 \setminus B_2[/math]. Так как [math]B_2[/math] - база, [math]B_2 \cup x \notin I[/math], а значит, по лемме, [math]\exists ! \ C[/math] - цикл, [math]C \subseteq B_2 \sup x[/math], причем [math]x \in C[/math]. Так как [math]C[/math] — цикл, [math]r(C) = r(C \setminus x)[/math], а значит, [math]x \in \langle C \setminus x \rangle[/math]. [math]C \setminus x \subseteq (B_1 \cup C) \setminus x[/math], так что по пункту 1 леммы о замыкании: [math]x \in \langle (B_1 \cap C) \setminus x \rangle[/math]. Тогда по пункту 2 той же леммы имеем: [math]\langle (B_1 \cap C) \setminus x \rangle = \langle B_1 \cap C \setminus x \rangle = X[/math] (т. к. [math]B_1[/math] - база). Из этого следует, что [math]\exists B'[/math] — база, такая, что [math]B' \subseteq (B \cap C) \setminus x[/math]. Множество [math]B_1 \setminus x [/math] независимо, и [math]|B_1 \setminus x| \lt |B'|[/math], a значит (по 3 аксиоме матроидов): [math]\exists y \in B' \setminus (B_1 \setminus x) : (B_1 \setminus x) \cup y \in \mathcal{B}[/math]. Но [math]B' \setminus (B_1 \setminus x) \subseteq ((B_1 \cup C) \setminus x) \setminus (B_1 \setminus x) \subseteq C \setminus x[/math], следовательно, [math]y \in C \setminus x \subseteq B_2[/math]. Значит, [math]y \in B_2 \setminus B_1[/math], что и требовалось. Докажем теперь, что [math](B_2 \setminus y) \cup x[/math] — база. Это следует из пункта 2 леммы 2: [math]y \in C \subseteq B_2 \cup x, \; B_2 \cup x \notin I \Rightarrow (B_2 \setminus y) \cup x \in I[/math], а значит — база.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Аксиоматизация матроида базами

Источники информации

• Chandra Chekuri: Combinatorial Optimization, Lecture 14 - Introduction to Matroids
• Chandra Chekuri: Combinatorial Optimization, Lecture 16 - Base Exchange Properties
• Michel X. Goemans: Advanced Combinatorial Optimization, Lecture 11: Matroid Intersection