Участник:Iloskutov/Матан 4сем

Определения

Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского

Теорема (Гёльдер):

[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] — пространство с мерой; [math]f \in L^p, g \in L^q, p \gt 1, \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1[/math]. Тогда [math] \int\limits_X |fg| \, d\mu \lt +\infty ,\; \int\limits_X \left|fg\right| \, d\mu \leq \left(\int\limits_X |f|^{p} \, d\mu\right)^{1/p} \left(\int\limits_X |g|^{q} \, d\mu\right)^{1/q}[/math]

Теорема (Минковский):

Пусть [math](X,\mathfrak{A},\mu)[/math] — пространство с мерой, и функции [math]f,g \in L^{p}(X,\mathfrak{A},\mu)[/math]. Тогда [math]f+g \in L^p(X,\mathfrak{A},\mu)[/math], и более того: [math]\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \leqslant \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}[/math].

Существенный супремум

Определение:

[math] f \colon X \to \overline{\mathbb R}[/math] [math]\mathrm{ess } \sup f = \inf \{ M \in \overline{\mathbb R} \mid f(x) \leqslant M[/math] при почти всех [math]x\}[/math]

Поверхностный интеграл первого рода

Определение:

[math]\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt[/math]

Кусочно-гладкая поверхность в R^3

Определение:

[math]M \subset \mathbb R^3[/math] называется кусочно-гладкой, если [math]M[/math] представляет собой объединение: конечного числа простых гладких поверхностей конечного числа простых гладких дуг конечного числа точек

Сторона поверхности

Определение:

Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности

Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов

Определение:

Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности

Определение:

Поле реперов [math]v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3[/math], если [math]\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle[/math] — касательный репер

Определение:

Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов: [math]n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}[/math]

Теоремы

Теорема об интегрировании положительных рядов

Теорема:

Абсолютная непрерывность интеграла

Теорема:

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере

Теорема:

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде

Теорема:

Теорема Фату

Теорема:

Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру

Теорема:

Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру

Теорема:

Вычисление интеграла Дирихле

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры

Теорема:

Критерий плотности

Теорема:

Лемма о множествах вполне положительности заряда

Теорема:

Теорема Радона--Никодима

Теорема (Радон, Никодим):

[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] — пространство с мерой, [math]\nu \colon \mathfrak{A} \to \mathbb R, \quad \mu, \nu[/math] — конечные меры, причём [math]\nu[/math] абсолютно непрерывна относительно [math]\mu[/math]. Тогда [math]\exists ! f[/math] — сумм. отн. [math]\mu[/math] [math]f[/math] — плотность [math]\nu[/math] относительно [math]\mu[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Лемма: [math]f, g[/math] — сумм. отн. [math]\mu[/math]. [math]\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu[/math] Хз если честно((99

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования

Теорема:

Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости

Теорема:

Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме

Теорема:

Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега

Теорема:

Теорема о произведении мер

Теорема:

Принцип Кавальери

Теорема:

Теорема Тонелли

Теорема:

Формула для Бета-функции

Теорема:

Теорема Фубини

Теорема:

Объем шара в $\mathbb R^m$

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой)

Теорема:

Теорема о вложении пространств L^p

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu)[/math] [math]\mu(X) \lt +\infty[/math] [math]1 \leqslant s \lt r \lt +\infty[/math], тогда [math]L^r \subset L^s[/math] [math]\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \| f \|_r[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. Напрямую следует из 2 2. Пусть [math] \dfrac{r}{s} = p \gt 1[/math] [math] q = \dfrac{r}{r - s}[/math] Тогда: [math]\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant (\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}[/math] (По Гельдеру)

[math]\triangleleft[/math]

Полнота L^p

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)[/math] - полное [math](1 \leqslant p \lt +\infty)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Ну там сложно что-то((((

[math]\triangleleft[/math]

Плотность в L^p множества ступенчатых функций

Теорема:

[math](X, \mathfrak{A}, \mu), f - [/math] ступенчатая [math] = \sum_{k=1}^{n} C_k \times[/math] [math]\chi_{Ek}[/math] [math]X = \bigsqcup X_k[/math] [math]\mu X (f \neq 0) -[/math] конечно в [math]L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)[/math] множество ступенчатых функций плотно

Лемма Урысона

Теорема:

[math]F_1, F_2 - [/math] два непересекающихся замкнутых множества из [math]\mathbb{R}^m[/math] Тогда [math]\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}[/math] (непрырывная)[math]: f|_{F_1}=0, f|_{F_2}=1[/math]

Плотность в L^p непрерывных финитных функций

Теорема:

[math]\forall p: 1 \leqslant p \lt +\infty \quad C_0[/math] всюду плотно в [math]L^p(R^m)[/math]

Теорема о непрерывности сдвига

Теорема:

Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве

Теорема:

Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе

Теорема:

Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя

Теорема:

Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля

Теорема:

Теорема о характеристике базиса

Теорема:

Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда

Теорема:

Теорема Римана--Лебега

Теорема:

Принцип локализации Римана

Теорема:

Признак Дини. Следствия

Теорема:

Корректность определения свертки

Теорема:

Свойства свертки функции из $L^p$ с функцией из $L^q$

Теорема:

Теорема о свойствах аппроксимативной единицы

Теорема:

Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических

Теорема:

Теорема Фейера

Теорема:

Полнота тригонометрической системы

Теорема:

Формула Грина

Теорема:

Формула Стокса

Теорема:

Формула Гаусса--Остроградского

Теорема:

Бескоординатное определение ротора

Теорема:

Бескоординатное определение дивергенции

Теорема:

Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции

Теорема: