2SAT

Рассмотрим функцию, записанную в виде 2-КНФ (КНФ Крома).

Решим задачу 2-SAT выполнимости данной функции.

Задача:

2-SAT выполнимость данной функции — задача распределения аргументов таким образом, чтобы результат данной функции был равен [math] 1 [/math].

Алгоритм Решения

Рассмотрим любой дизъюнкт функции: [math] a \vee b [/math]. Несложно заметить, что это равнозначно записи [math](\overline a \to b \wedge b \to \overline a) [/math].

Построим ориентированный граф, где вершинами будут аргументы и их отрицание, а ребрами будут ребра вида: [math]\overline a \to b [/math] и [math] b \to \overline a [/math] для каждого дизъюнкта функции [math] a \vee b [/math].

Теорема:

Для того, чтобы данная задача 2-SAT имела решение, необходимо и достаточно, чтобы для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] нельзя достичь [math] x [/math] одновременно. [math](\overline x \to x \wedge x \to \overline x) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем достаточность: Пусть 2-SAT имеет решение. Докажем, что не может быть такого, чтобы для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] можно достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] можно достичь [math] x [/math] одновременно. [math](\overline x \to x \wedge x \to \overline x) [/math]. Тогда чтобы из [math] \overline x [/math] достичь [math] x [/math] [math] (\overline x \to x [/math] было верным), [math] x [/math] должен быть равен [math] 1 [/math]. С другой стороны для того, чтобы из [math] x [/math] достичь [math] \overline x [/math] [math] (\overline x \to x [/math] было верным), [math] x [/math] должен быть равен 0. Отсюда следует противоречие. Пусть для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] нельзя достичь [math] x [/math] одновременно. Докажем, что этого достаточно, чтобы 2-SAT имело решение. Пусть из [math] \overline x [/math] можно достичь [math] x [/math], но из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math]. Докажем, что из [math] x [/math] не достижимо такой [math] y [/math], что из [math] y [/math] достижимо [math] \overline y [/math]. (т.е. [math] x \to y \to \overline y (x = 1, y = 0)) [/math]. Если из [math] x \to y [/math], то [math] \overline x \vee y [/math], отсюда следует [math] \overline y \to \overline x [/math]. Тогда [math] x \to y \to \overline y \to \overline x [/math]. Следовательно [math] x \to \overline x [/math]. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Теперь мы можем собрать весь алгоритм воедино:

• Построим граф импликаций.
• Найдём в этом графе компоненты сильной связности за время [math]O(N + M)[/math], пусть [math]comp[v][/math] — это номер компоненты сильной связности, которой принадлежит вершина [math]v[/math].
• Проверим, что для каждой переменной [math]x[/math] вершины [math]x[/math] и [math]\overline x[/math] лежат в разных компонентах, т.е. [math]comp[x] \ne comp[\overline x][/math]. Если это условие не выполняется, то вернуть "решение не существует".
• Если [math]comp[x] \gt comp[\overline x][/math], то переменной x выбираем значение true, иначе - false.

Применение 2-SAT задач

Алгоритм для решения 2-SAT может быть применим во всех задачах, где есть набор величин, каждая из которых может принимать 2 возможных значения, и есть связи между этими величинами:

• Расположение текстовых меток на карте или диаграмме. Имеется в виду нахождение такого расположения меток, при котором никакие две не пересекаются. Стоит заметить, что в общем случае, когда каждая метка может занимать множество различных позиций, мы получаем задачу general satisfiability, которая является NP-полной. Однако, если ограничиться только двумя возможными позициями, то полученная задача будет задачей 2-SAT.
• Расположение рёбер при рисовании графа. Аналогично предыдущему пункту, если ограничиться только двумя возможными способами провести ребро, то мы придём к 2-SAT.
• Составление расписания игр. Имеется в виду такая система, когда каждая команда должна сыграть с каждой по одному разу, а требуется распределить игры по типу домашняя-выездная, с некоторыми наложенными ограничениями.

См. также

• КНФ
• Специальные формы КНФ. КНФ в форме Крона (2-КНФ)
• Ориентированные графы
• NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ
• MAXimal :: algo :: Поиск компонент сильной связности за O(N + M)

Источники информации

• MAXimal :: algo :: Задача 2-SAT (2-CNF)
• 2-satisfiability - Википедия