Ксе к

Представим банку, заполненную хим акт жидкостью, а может твердое тело, перемешаны хим реагенты, которые способны взаимод друг с другом. Хим реакция удовлетворяет 2 свойствам:

1. скорость реакции "сильно" увеличивается с температурой
2. происходит "сильное" выделение тепла этой реакции

Исходная смесь при темп [math]T_0[/math] (при которой скорость реакц очень маленькая). начинаем стеночку прогревать, тепло передается близлеж слоям смесей, нагреваются, так как скорость реакц увеличивается с темп, в них начинает происходить реак, как только пошла, начинается выделение собственного тепла реакции. Это тепло передается след слоям, они тоже прогремваются и тд. При некоторых условий формируется тепловоцй фронт химической реакции. (РИСУНОК распределение температуры, ось z, хим волна реакции). [math]Tm = T_0 + \frac{Q}{C}[/math]

Tm температура адиаьатического прохождения реакции, когда все тепло реакции на нагрев смеси Q - тепловой эффект хим реакции С - теплоемкость

Как ведет концентрация реагинтов? начальный реагент A -> B (в продукт B) (в чем мер конц = отношение плотности вещ к полной плотности смеси [math]x = \frac {\rho_A} {\rho_A + \rho_B} [/math] , [math]0 \leq x \leq 1[/math])

перед фронтом когда один геагент концентраци я = 1. после фронта асимтотически выходит на 0

как ведет себя скорость? дает оче узкий пик в кокой-то малой зоне. перед зоной скорость реакц мала, так как температура мала, а после мала, так как реагент скушался. расчеты показываеют, что это оче узкий пик.

Наример как фронт инициировать? Допустим устанавливаем температуру стенки Tw, есди эта Tw = Tm то волна без проблем идет, если меьшн, то существует критическое значение T* для инициирования волны.

• [math] T_w \lesssim T^* \le T_m [/math] - нет "поджига"

• [math] T^* \lesssim T_w \le T_m [/math] - "поджиг" с задержкой

• [math] T_w \le T_m [/math] - быстрый "поджиг"

Когда волна отходит , она забывает об начальном условии. Влияние другой стенки. и тп. При определенном соотношении параметров, которые характеризуют эту волну, она может терять устойчивость. Что происходит посде потери. Если терят в одномерной моде (?) то есть сохраняет свою плоскую структуру, то формиру.тся другие устойчивые режимы, например колеебтельные, тоесть волна движется, то ускор то замедляясь, дальше мождет поизойти бифуркация, и воникнуть 2х периодические колебание, то есть делает таие колебания с большим периодом и маленьким. И при определенном наборе параметров возникает хаотичское поведение, волна сохраняя плоскую форму распространяется колебательно,но вообще не периодичсеки, поведение похоже на чаотичское. пример динам хаоса. поведение похоже на хаосЮ но описывается детерминир закономерностью. Не плоская волна? Если плоская задача, может возникнуть 2 очага. (РИСУНКИ) Если 3д то очаги(2шт) по спирали двигаются в одну сторону. Могут распасться на несколько очагов - спиновая воллна. Всякие чудеса

Совершенно детерминир система - такое сложное поведение

КАК МОДЕЛИРОВАТЬ в одномеррном случае ситема опис 2мя фунцик x(t, z) - кончентрация , температура T(t, z)

[math]\left\{ \begin{matrix} \frac {\partial x} {\partial t} - D \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} = W(x, T) \\ C \frac {\partial T}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = - \rho Q W (x,T)\end{matrix} \right.[/math] D - коэффициет диффузии

первое - уравнение диффузии. справа скорость хим реакции [math]W(x, T) = - K x^a exp ( - \frac{E}{R T})[/math]

K - константа скорости реакции. К, а - порядок реакции, Е - енергия активациии - константы

Что такое переход из вещ А в В (РИСУНКО енергия связи, барьер.) То есть чтобы проихощла рекция необходимо преодолеть молек барьер. Экспонента формуле показывает, какая часть модекул больше барьера

Надо решуть ту систему уравнений. Граничные условия.

[math]x|_{z = 0} = 0[/math]

[math]T|_{z = 0} = T_w[/math] - темпер стенки

[math]\frac {\partial x} {\partial z} |_{z = l} = 0, \frac {\partial T} {\partial z} |_{z = l} = 0[/math] На самом деле все это не важно услоивя на дальнем конце, пока фронт не подойдет к ней.

Начальные условия

[math]x|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} 1, z \ne 0 \\ 0, z = 0\end{matrix} \right.[/math]

[math]T|_{t = 0} = \left\{ \begin{matrix} T_0, z \ne 0 \\ T_w, z = 0\end{matrix} \right.[/math]

с вер 99 рпоцентов не получится, надо представлять структуру того, что происходит. То есть нельзя формально применять методы, должен быт предварительный физ анализ. Поэтому нужны оценки

Лценки:

Характерная величинаа скорости фронта для случая когда, порядок реакции а = 1

[math]U \sim [\frac{2 K \lambda}{Q \rho \triangle T} (\frac{R T m^2}{E})^2 e^{-\frac{E}{R T m}}] ^ {1/2}[/math]

К - конст реакции, [math]\triangle T[/math] - насколько среда прогревается, [math]\lambda[/math] - коэффициент теплопроводности Q - топловой эффект реакции

[math]\triangle T = T_m - T_0 = \frac{Q}{C}[/math]

T_m - ьемпература адиабатического прохожденя реакции, то есть насколько прогрелась

По структуре фронта (ГРАФИКИ структура фронта) есть сравнительно широкая зона подогрева [math]\delta_t[/math] и сравнительно узкая зна реакции [math]\delta_r[/math]. То есть температура увелич в сравнительно широкой облачти, а реакция контертруется в более узкой зоне.

[math]\delta_T \sim \frac {\varkappa}{U} = \frac{\lambda}{p c U}[/math], [math]\varkappa[/math]- коэфф темепературопроводности

диффузионный масштаб (может не совпадать с тепловым) [math]\delta_D \sim D/U [/math] D - коэфф диффузии

[math]\delta_r \sim \delta_T \beta[/math] ??

[math]\beta =\frac{R T_m}{E} \ll 1[/math] - условние "сильной " зависимости скор реакц от темпертуры

[math]\gamma = \frac{R T_m^2}{E \triangle T} = \frac{R T_m^2}{E (T_m - T_0)} = \frac{R T_m^2 c}{E Q} \ll 1[/math] - условие "сильной" экзотермичности реакии

Кау подбирать шаги по времени? должны разрешить наименьший физ масштаб. нужно чтобы

1. на [math]\delta_r[/math] укладывалось хотя юы несколько пространственных шагов ,
2. [math] \triangle z\lesssim \delta_r[/math],
3. [math]\delta_T \ll l [/math] l - разсер области, то еть чтоб фрон поместился.

Предже всего получить обычный фронт, потом варьируя параметры залезть за критичсекие режимы. Что способствует переходу за крит режимы: D↓, K↑, и одновременно (K↑, Е↑ таким образом что [math]K e^{-\frac{E}{l t m}} = const [/math])

(*)Для желающих 2мерную задачу.

Параметры:

[math]K = 1.6 \cdot 10^6 [/math] 1 /c константа скорости реакции

[math]E = 8 \cdot 10^4 [/math] Дж/Моль энергия активации

[math]R = 8.314 [/math] Дж/(Моль * К)

[math]a = 0..2[/math] - порядок реакции. лучше начинать с 1

[math]Q =7 \cdot 10^5 [/math] Дж/кг тепловой эффект реакции

[math]\rho = 830 [/math] кг / м^3

[math]T_0 = 293[/math] K

[math]C = 1980[/math] Дж/(кг * K) теплоемкость

[math]\lambda = 1.13 [/math] Дж/(м * с * К) теплопроводность

[math]D \sim 8 \cdot 10^{-12}[/math] м^2/c коэффиц диффуз. Диффузия в жидк и твердых телах очень маленькая. для начала не реальную юрать D, а звять не физ значение а такое, что число Льюиса [math]L_e = \frac{D}{\varkappa} = \frac{D \rho C} {\lambda} = 1[/math]. Это даст ситуацию подобия уравнений переноса тепла и переноса массы.

"Препроцессинг" - интерактивный ввод параметров физических и вычислительных(шаги колво шагов...)

"Процессор" - солвер

"Постпроцессор" - визуализация. Температура, концентрация, W скорость реакции. (интересно - анимация, прям волна бежит)