Алгоритм Дейкстры

Задача:

Для заданного взвешенного графа [math]G = (V, E)[/math] найти кратчайшие пути из заданной вершины [math] s [/math] до всех остальных вершин. Веса всех рёбер неотрицательны.

Алгоритм

В ориентированном взвешенном графе [math]G = (V, E)[/math], вес рёбер которого неотрицателен и определяется весовой функцией [math]w : E \to \mathbb{R}[/math], алгоритм Дейкстры находит длины кратчайших путей из заданной вершины [math]s[/math] до всех остальных.
В алгоритме поддерживается множество вершин [math]U[/math], для которых уже вычислены длины кратчайших путей до них из [math]s[/math]. На каждой итерации основного цикла выбирается вершина [math] u \notin U[/math], которой на текущий момент соответствует минимальная оценка кратчайшего пути. Вершина [math]u[/math] добавляется в множество [math]U[/math] и производится релаксация всех исходящих из неё рёбер.

Псевдокод

func dijkstra(s):
    for i = 0 to n                       // n — количество вершин в графе
        d[v] = [math]\infty[/math]
        used[v] = false
    d[s] = 0
    for i = 0 to n
        v = null
        for j = 0 to n                   // найдем вершину с минимальным расстоянием
            if !used[j] and (v == null or d[j] < d[v])
                v = j
        if d[v] == [math]\infty[/math]
            break
        used[v] = true
        for e : исходящие из v рёбра     // произведём релаксацию по всем рёбрам, исходящим из v
            if d[v] + e.len < d[e.to]
                d[e.to] = d[v] + e.len

Обоснование корректности

Теорема:

Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный взвешенный граф, вес рёбер которого неотрицателен, [math]s[/math] — стартовая вершина. Тогда после выполнения алгоритма Дейкстры [math]d(u) = \rho(s, u)[/math] для всех [math]u[/math], где [math]\rho(s, u)[/math] — длина кратчайшего пути из вершины [math]s[/math] в вершину [math]u[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины [math]u[/math], [math]d(u) = \rho(s, u)[/math]. На первом шаге выбирается [math]s[/math], для нее выполнено: [math]d(s) = \rho(s, s) = 0[/math] Пусть для [math]n[/math] первых шагов алгоритм сработал верно и на [math]n + 1[/math] шагу выбрана вершина [math]u[/math]. Докажем, что в этот момент [math]d(u) = \rho(s, u)[/math]. Для начала отметим, что для любой вершины [math]v[/math], всегда выполняется [math]d(v) \geqslant \rho(s, v)[/math] (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть [math]P[/math] — кратчайший путь из [math]s[/math] в [math]u[/math], [math]v[/math] — первая непосещённая вершина на [math]P[/math], [math]z[/math] — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь [math]P[/math] кратчайший, его часть, ведущая из [math]s[/math] через [math]z[/math] в [math]v[/math], тоже кратчайшая, следовательно [math]\rho(s, v) = \rho(s, z) + w(zv)[/math]. По предположению индукции, в момент посещения вершины [math]z[/math] выполнялось [math]d(z) = \rho(s, z)[/math], следовательно, вершина [math]v[/math] тогда получила метку не больше чем [math]d(z) + w(zv) = \rho(s, z) + w(zv) = \rho(s, v)[/math], следовательно, [math]d(v) = \rho(s, v)[/math]. С другой стороны, поскольку сейчас мы выбрали вершину [math]u[/math], её метка минимальна среди непосещённых, то есть [math]d(u) \leqslant d(v) = \rho(s, v) \leqslant \rho(s, u)[/math], где второе неравенсто верно из-за ранее упомянутого определения вершины [math]v[/math] в качестве первой непосещённой вершины на [math]P[/math], то есть вес пути до промежуточной вершины не превосходит веса пути до конечной вершины вследствие неотрицательности весовой функции. Комбинируя это с [math]d(u) \geqslant \rho(s, u)[/math], имеем [math]d(u) = \rho(s, u)[/math], что и требовалось доказать. Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент [math]d(u) = \rho(s, u)[/math] для всех [math]u[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Оценка сложности

Основной цикл выполняется [math]V[/math] раз. Релаксация выполнится всего [math]E[/math] раз. В реализации алгоритма присутствует функция выбора вершины с минимальным значением [math]d[/math], асимптотика её работы зависит от реализации.

Таким образом:

Структура данных	Время работы
Наивная реализация	[math]O(V^2+E)[/math]
Двоичная куча	[math]O(E\log{V})[/math]
Фибоначчиева куча	[math]O(V\log{V}+E)[/math]

Источники

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 459. — ISBN 5-8489-0857-4
• MAXimal :: algo :: Нахождение кратчайших путей от заданной вершины до всех остальных вершин алгоритмом Дейкстры
• Википедия — Алгоритм Дейкстры
• Wikipedia — Dijkstra's algorithm