403
правки
Изменения
м
minor fixes
#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>.
#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> {{---}} наименьшая из верхних границ А.
Получили, что d - верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А <tex>\Rightarrow d = \sup \, A </tex>.
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.
}}
Множество <tex> [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} </tex> называется '''отрезком''' или '''замкнутым промежутком'''.
Обозначение <tex> <\langle a, b> \rangle = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} </tex> ('''промежуток''') используется, когда неизвестно включение границ.
По аналогии определяются и промежутки типа <tex> (a, b] </tex>.
<tex> B = \{ b_n | n \in \mathbb N \} </tex>
Пусть <tex> c = \sup \, A, d = \inf \, B </tex>.
<tex> c </tex> и <tex> d </tex> существуют.
Исходя из определения граней, если:
<tex> d = \sup \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: d - \varepsilon < a </tex>
<tex> c = \inf \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: c + \varepsilon > a </tex>
