Побитовые операции

ВНИМАНИЕ, СТАТЬЯ НАХОДИТСЯ В РАЗРАБОТКЕ

Побитовые операции (англ. bitwise operations) — операции, производимые над цепочками битов. Выделяют два типа побитовых операций: логические операции и побитовые сдвиги.

Принцип работы

Логические побитовые операции

Битовые операторы И [math](AND, \&)[/math], ИЛИ [math](OR, \mid)[/math], НЕ [math](NOT, \sim)[/math] и исключающее ИЛИ [math](XOR, $\textasciicircum$)[/math] используют те же таблицы истинности, что и их логические эквиваленты.

Побитовое И

Побитовое И используется для выключения битов. Любой бит, установленный в [math]0[/math], вызывает установку соответствующего бита результата также в [math]0[/math].

&
	11001010 11100010
	11000010

Побитовое ИЛИ

Побитовое ИЛИ используется для включения битов. Любой бит, установленный в [math]1[/math], вызывает установку соответствующего бита результата также в [math]1[/math].

|
	11001010 11100010
	11101010

Побитовое НЕ

Побитовое НЕ инвертирует состояние каждого бита исходной переменной.

~
	11001010
	00110101

Побитовое исключающее ИЛИ

Исключающее ИЛИ устанавливает значение бита результата в [math]1[/math], если значения в соответствующих битах исходных переменных различны.

^
	11001010 11100010
	00101000

Побитовые сдвиги

Операторы сдвига [math]\ll[/math] и [math]\gg[/math] сдвигают биты в переменной влево или вправо на указанное число. Сдвиг влево может применяться для умножения числа на два, сдвиг вправо — для деления.

x = 7     //00000111
x << 1    //00001110
x << 5    //11000000
x >> 2    //00110000

Ограничения

C++ Visual Studio 15

Если выполняется сдвиг влево числа со знаком и при этом затрагивается бит знака, результат не определен. Результат сдвига вправо отрицательного числа со знаком зависит от реализации. Результат операции сдвига не определен, если число, на которое пользователь хочет сдвинуть биты имеет отрицательное значение или если оно больше или равно количеству битов в исходном числе.

   short x = 16384;     // 01000000 00000000
   short y = x << 1;    // 10000000 00000000
                        // 16384 left-shifted by 1 = -32768

Java

В языке программирования Java существует также оператор беззнакового битового сдвига вправо [math]\ggg[/math]. При использовании этого оператора на освободившиеся позиции всегда устанавливаются [math]0[/math], тогда как при использовании [math]\gg[/math] на освободившиеся позиции устанавливается бит знака. При использовании битовых сдвигов есть некоторое отличие от целочисленного деления на [math]2[/math]: если сдвигать отрицательное число вправо, то сначала это аналогично целочисленному делению на [math]2[/math], но когда останется [math]-1[/math], то при следующих сдвигах результат меняться не будет. То есть происходит округление не к нулю, как при целочисленном делении, а к [math]-1[/math].

Также нельзя сдвинуть число на количество бит большее, чем разрядность операнда. При этом происходит неявное сокращение правого (количество бит) операнда.

Примеры:

i = 1      //00000000 00000000 00000000 00000001 (1)
i << 29    //00100000 00000000 00000000 00000000 (536870912)
i << 30    //01000000 00000000 00000000 00000000 (1073741824)
i << 31    //10000000 00000000 00000000 00000000 (-2147483648 / 2147483648)
i << 32    //00000000 00000000 00000000 00000001 (1)

i = -1      //11111111 11111111 11111111 11111111 (-1 / 4294967295)
i >>> 1     //01111111 11111111 11111111 11111111 (2147483647)
i >>> 30    //00000000 00000000 00000000 00000011 (3)
i >>> 31    //00000000 00000000 00000000 00000001 (1)
i >>> 32    //11111111 11111111 11111111 11111111 (-1 / 4294967295)

i = -192    //11111111 11111111 11111111 01000000 (-192 / 4294967104)
i >> 1      //11111111 11111111 11111111 10100000 (-96 / 4294967200)
i >> 30     //11111111 11111111 11111111 11111111 (-1 / 4294967295)
i >> 31     //11111111 11111111 11111111 11111111 (-1 / 4294967295)
i >> 32     //11111111 11111111 11111111 01000000 (-192 / 4294967104)

Арифметическое распространение в Java проводится перед операциями и гарантирует расширение каждого операнда по крайней мере до int (или, если один из операндов имеет больший тип, то до него). Расширение происходит знаково, ввиду чего результат может быть не таким, как ожидалось; при приведении типа к меньшему лишние байты отбрасываются.

Примеры:

byte b = -127   //10000001 (-127 / 129)
(int)b          //11111111 11111111 11111111 10000001 (-127 / 4294967169)

int i = -127    //11111111 11111111 11111111 10000001 (-127 / 4294967169)
(byte)i         //10000001 (-127 / 129)

int i = 128     //00000000 00000000 00000000 10000000 (128)
(byte)i         //10000000 (-128 / 128)

int i = 256     //00000000 00000000 00000001 00000000 (256)
(byte)i         //00000000 (0)

int i = -256    //11111111 11111111 11111111 00000000 (-256 / 4294967040)
(byte)i         //00000000 (0)

Применение для решения задач

• Проверка на то, является ли число степенью двойки

  Если выражение [math](x\ \&\ (x - 1))[/math] равно нулю, то число [math]x[/math] является степенью двойки [math](x \not= 0)[/math].

• Проверка на то, что в битовой записи числа нет двух единиц, идущих подряд

  Если выражение [math](x\ \&\ (x \ll 1))[/math] равно нулю, то в битовой записи числа [math]x[/math] нет двух единиц, идущих подряд.

• Номер младшего единичного бита

  Число, полученное в результате операции [math]x\ \&\ (\sim x + 1)[/math] будет равно номеру младшего единичного бита в числе [math]x[/math].

• Работа с битовыми масками

  Храним подмножества множества из [math]32, 64[/math] или [math]128[/math] фиксированных элементов. Значение каждого бита позволяет понять, включен элемент в множество или нет. Тогда легко сделать следующее: найти дополнение [math](\sim)[/math], пересечение [math](\&)[/math], объединение [math](\mid)[/math] множеств, установить бит по номеру [math](\mid 1 \ll x)[/math], снять бит по номеру [math](\& \sim(1 \ll x))[/math].

• Определение знака числа

sign = (v != 0) | -(int)((unsigned int)((int)v) >> (sizeof(int) * CHAR_BIT - 1)); // Or, for more speed but less portability: sign = (v != 0) | (v >> (sizeof(int) * CHAR_BIT - 1)); // -1, 0, or +1 // Or, for portability, brevity, and (perhaps) speed: sign = (v > 0) - (v < 0); // -1, 0, or +1

• Алгоритм Флойда

  Оптимизация с помощью битовых масок. Время работы [math]O\Big(\dfrac{n^3}{k}\Big)[/math].

• Дерево Фенвика

Источники информации

Онлайн справочник программиста на С и С++

MSDN: Операторы сдвигов влево и вправо

Битовые сдвиги и приведения в Java: подводные камни