54
правки
Изменения
→Доказательство NP-полноты: опечатки
==Доказательство NP-полноты==
Для доказательства того, что Subset sum problem <math>\in</math> задачи о сумме подмножества является [[NPC| NP-полной]], необходимо доказать два факта:*Subset sum problem Задачи о сумме подмножества <math>\in</math> [[NP]] *Subset sum problem Задачи о сумме подмножества <math>\in</math>[[NPH]]
===Доказательство принадлежности к NP===
В качестве сертификата возьмем удовлетворяющее условию задачи множество <math>S'</math> с суммой <math>s</math>. Очевидно, оно Оно удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа времяпроверит вхождение всех элементов <math>S'</math> в множество <math>S</math>.
===Доказательство принадлежности к NPH===
Сведем [[NP-полнота_задачи_о_выполнимости_булевой_формулы_в_форме_3-КНФ|3-CNF_Sat]] к задаче о сумме подмножества. Пусть задана 3-CNF формула <math>\phi</math> от <math>n</math>
переменных <math>x_{i}</math>, состоящая из <math>k</math> пар скобок <math>C_{i}</math>. Будем считать, не умаляя общности, что ни одна пара скобок не содержит одновременно переменную и ее отрицание. Также предположим, что каждая переменная входит хотя бы в одну пару скобок. Построим сводящую функцию <math>f\!\!:\phi \to (S,s)</math>.
====Построение сводящей функции====
Для каждой переменной <math>x_{i}</math> и каждой пары скобок <math>C_{j}</math> создадим по два числа в десятичной системе счисления, каждое длиной <math>n+k</math> цифр. Эти числа образуют <math>S</math>. Также создадим число <math>s</math> длиной <math>n+k</math> цифр. Присвоим каждому разряду полученных чисел (одинаковую для всех чисел) метку, соответствующую либо переменной, либо паре скобок.
*В числе <math>s</math> все разряды, соответствующие переменным, установим <math>1</math>, а оставшиеся сделаем равными <math>4</math>.
*Каждой переменной <math>x_{i}</math> соответствуют два числа из <math>S</math>: <math>v_{i}</math> и <math>u_{i}</math>. Опишем создание этих чисел. Разряд, соответствующий <math>x_{i}</math> установим равным <math>1</math>, а все остальные разряды, соответствующие переменным, установим равными <math>0</math>. Далее, для числа <math>v_{i}</math> установим все разряды, соответствующие парам скобок, содержащих <math>x_{i}</math>, равными <math>1</math>. Во все остальные "скобочные" разряды поставим <math>0</math>. В числе <math>w_{i}</math> установим все разряды, соответствующие парам скобок, содержащих <math>\neg x_{i}</math>, равными <math>1</math>, а во все остальные "скобочные" разряды поставим <math>0</math>.
*Каждой паре скобок <math>C_{j}</math> соответствуют два числа из <math>S</math>: <math>d_{i}</math> и <math>e_{i}</math>. Оба этих числа содержат <math>0</math> во всех разрядах, кроме соответствующего <math>C_{j}</math>. В этом разряде у <math>d_{i}</math> поставим <math>1</math>, а у <math>e_{i}</math> поставим {{---}} <math>2</math>.
====Корректность сводящей функции====
*Получаемое сводящей функцией множество <math>S</math> состоит из <math>2(n+k)</math> десятичных чисел длиной <math>(n+k)</math> каждое, выставление каждого разряда занимает полиномиальное время. Таким образом, сведение выполняется за полиномиальное время.
*Пусть формула <math>\phi</math> выполнима, то есть существует набор значений <math>\{y_{i}\}^{n}_{i=1}:~\phi(y_{1}\ldots y_{n})=1 </math>. И пусть <math>(S,s) = f(\phi)</math>. Тогда в полученном множестве <math>S</math> существует подмножество с суммой <math>s</math>. Действительно, для каждой переменной, если <math>y_{k} = 1</math>, то добавим в <math>S'~ v_{i}</math> в <math>S'</math>. Иначе добавим <math>w_{i}</math>. Теперь <math>S'</math> содержит уже <math>n</math> чисел. Заметим, что для каждого "скобочного"разряда в уже набранной части <math>S'</math> есть не менее одного и не более трех чисел, у которых в данном разряде стоит <math>1</math>. Значит для каждого соответствующего паре скобок <math>C_{j}</math> разряда мы сможем выбрать одно или оба числа <math>d_{j}</math> и <math>e_{j}</math> так, чтобы сумма в данном разряде совпадала с требуемой (стала равна <math>4</math>). Добавим их в <math>S'</math>. Также заметим, что суммы во всех "переменных" разрядах равны <math>1</math>, так как для каждого <math>i</math> выбиралось строго одно число из <math>v_{i}</math> и <math>u_{i}</math>. Значит, <math> \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</math>.
*Пусть теперь в наборе <math>S</math> есть подмножество <math>S':~ \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</math>. Тогда исходная формула <math>\phi</math> выполнима. Действительно, если <math>v_{i} \in S'</math>, то установим переменную <math>x_{i}=1</math>. Если же <math>w_{i} \in S'</math>, то <math>x_{i}=0</math>. Покажем, что <math>\phi(x_{1}\ldots x_{n}) = 1 </math>. Действительно, так как <math> \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s</math>, в каждой паре скобок хотя бы один терм равен <math>1</math>. Значит каждый терм равен <math>1</math>. А тогда и вся <math>\phi = 1</math>.
====Пример сведения====
