Дерево палиндромов

Дерево палиндромов — структура данных, позволяющая решить некоторые интересные задачи на палиндромы.

Эту структуру данных придумал Михаил Рубинчик и рассказал ее на летних сборах в Петрозаводске в 2014 году.

Описание структуры

Дерево палиндромов состоит из вершин. Каждая вершина соответствует палиндрому. Через [math]u.value[/math] будем обозначать строку, которой соответствует вершина [math]u[/math].

Ребра дерева палиндромов ориентированные и помечены символами. Ребро с символом [math]x[/math] из вершины [math]u[/math] в вершину [math]v[/math] означает, что [math]v.value=x+u.value+x[/math]. Тут [math]``+"[/math] означает конкатенацию строк.

Также в дереве палиндромов присутствуют суффиксные ссылки. Суффиксная ссылка из вершины [math]u[/math] ведет в вершину [math]w[/math], если [math]w.value[/math] является наибольшим суффиксом строки [math]u.value[/math].

Название структуры данных выбрано не совсем удачно, т.к. на самом деле она представляет из себя два дерева, однако суффиксные ссылки могут вести как в то же, так и в другое дерево. Это сделано для удобства реализации. Также в целях экономии памяти мы не будем хранить для каждой вершины соответствующую ей строку-палиндром. Вместо этого мы будем хранить только длину палиндрома.

Итак, у нас будет два дерева. Одно дерево для палиндромов четной длины, другое — для палиндромов нечетной длины. Каждое дерево будет иметь фиктивный корень. Обозначим корни четного и нечетного дерева соответственно [math]root_{even}[/math] и [math]root_{odd}[/math].

[math]root_{odd}[/math] будет соответствовать фиктивному палиндрому длины -1. Это нужно для того, чтобы не обрабатывать отдельно случай добавления палиндрома длины 1. Теперь каждый раз при добавлении новой вершины [math]u[/math] к вершине [math]v[/math] мы будем просто указывать ее длину равной [math]u.len = v.len + 2[/math].

[math]root_{even}[/math] будет соответствовать фиктивному палиндрому длины 0.

Также направим суффиксные ссылки обоих корней к вершине [math]root_{odd}[/math].

Построение

Будем обрабатывать строку символ за символом. Пусть мы уже обработали некоторый префикс [math]p[/math] и теперь хотим добавить следующий символ строки, назовем его [math]x[/math].

Будем также поддерживать максимальный палиндром-суффикс обработанного префикса [math]p[/math]. Назовем его [math]t[/math].

Т.к. [math]t[/math] находится в уже обработанной части строки, то ему соответствует какая-то вершина в дереве. У этой вершины есть суффиксная ссылка на какую-то другую вершину, у которой тоже есть суффиксная ссылка и т.д.

Найдем теперь палиндром-суффикс нового префикса, состоящего из [math]p[/math] и [math]x[/math]. Искомый палиндром-суффикс будет иметь вид [math]``xAx"[/math], где [math]A[/math] — это какая-то строка, возможно пустая (или фиктивный строка длины -1, соответствующая корню [math]root_{odd}[/math], если искомый палиндром-суффикс — это просто символ [math]x[/math]). Т.к. [math]xAx[/math] палиндром, то [math]A[/math] — тоже палиндром, и, более того, это суффикс строки [math]p[/math]. Поэтому он может быть достигнут из [math]t[/math] по суффиксным ссылкам.

Строка [math]xAx[/math] — это единственная подстрока-палиндром строки [math]p+x[/math], которой, возможно, нет в [math]p[/math] (все другие подстроки-палиндромы есть). Чтобы понять почему это так, нужно обратить внимание на то, что все новые подстроки-палиндромы, которых не было в [math]p[/math], должны оканчиваться на символ [math]x[/math], и поэтому должны быть палиндромом-суффиксом строки [math]p+x[/math]. Из-за того, что [math]xAx[/math] — наибольший палиндром-суффикс строки [math]p+x[/math], все остальные меньшие палиндромы-суффиксы этой строки уже есть в каком-то префиксе строки [math]xAx[/math] (т.к. для каждого суффикса палиндрома есть равный ему префикс) и, соответственно, уже есть в [math]p[/math].

Таким образом, чтобы обработать очередной символ [math]x[/math], нужно просто спуститься по суффиксным ссылкам строки [math]t[/math] до тех пор, пока мы не найдем подходящую строку [math]A[/math] (причем мы всегда можем найти такую строку, возможно длины -1, если очередная суффиксная ссылка будет вести в корень). Затем нужно проверить, есть ли уже ребро по символу [math]x[/math] из вершины, соответствующей [math]A[/math], и если нет, добавить это ребро в новую вершину [math]xAx[/math].

Теперь нужно добавить суффиксную ссылку из вершины [math]xAx[/math]. Если эта вершина уже существовала до добавления символа [math]x[/math], ничего делать не нужно — суффиксная ссылка итак указывает на правильную вершину. Иначе на нужно найти наибольший палиндром-суффикс строки [math]xAx[/math], который будет иметь вид [math]xBx[/math], где [math]B[/math] — это некоторая строка, возможно, пустая. Следуя той же логике, которую мы использовали раньше, [math]B[/math] — это палиндром-суффикс строки [math]p[/math] и может быть достигнут из [math]t[/math] по суффиксным ссылкам.

Источники

• Palindromic tree