Обсуждение:Метрическое пространство — различия между версиями
(→Основное характеристическое свойство замкнутых множеств) |
Sementry (обсуждение | вклад) |
||
Строка 14: | Строка 14: | ||
При этом <tex>y</tex>, вообще говоря, не обязан быть центром шара, однако далее в доказательстве это подразумевается. Лечится это очень просто, достаточно сказать, что если <tex>y</tex> лежит в некотором шаре <tex>V_1(x)_{r_1}</tex>, то существует шар <tex>V_2(y)_{r_2} \subset V_1</tex> (надо положить <tex>r_2 < r_1 - \rho(x, y)</tex>). Возможно даже, что этот факт уже доказан в статье, но пояснить этот момент в любом случае стоит. | При этом <tex>y</tex>, вообще говоря, не обязан быть центром шара, однако далее в доказательстве это подразумевается. Лечится это очень просто, достаточно сказать, что если <tex>y</tex> лежит в некотором шаре <tex>V_1(x)_{r_1}</tex>, то существует шар <tex>V_2(y)_{r_2} \subset V_1</tex> (надо положить <tex>r_2 < r_1 - \rho(x, y)</tex>). Возможно даже, что этот факт уже доказан в статье, но пояснить этот момент в любом случае стоит. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | По поводу свойств открытых и замкнутых множеств: почему все <tex> X </tex> открыто, понятно, мы можем представить его как <tex> \bigcup\limits_{x \in X} V{_r}(x) (r > 0) </tex>. А почему пустое множество является открытым, типа, это пустое объединение? Далее, раз уж класс замкнутых множеств обладает двойственными свойствами по отношению к классу открытых, то, наверное, свойства будут выглядеть так: | ||
+ | === Свойства замкнутых множеств === | ||
+ | # <tex> X, \varnothing </tex> {{---}} замкнуты | ||
+ | # Если <tex>\ F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто <tex>\forall \alpha \in A </tex>, то <tex>\bigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто | ||
+ | # Если <tex>\ F_1 \dots F_n </tex> {{---}} замкнуты, то <tex> \Rightarrow \bigcup\limits_{j = 1}^n F_j </tex> {{---}} замкнуто | ||
+ | |||
+ | Вроде бы все логично и напрямую следует из законов Де Моргана. В статью пока не впиливаю, потому что в конспекте на эту тему у меня какой-то бред.--[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 20:43, 4 января 2011 (UTC) |
Версия 23:43, 4 января 2011
Используйте шаблон для тире — {{---}} вместо "-" там, где это необходимо Rybak 04:10, 21 ноября 2010 (UTC)
Замкнутые множества
Класс открытых множеств обозначается Дмитрий Герасимов 23:59, 21 ноября 2010 (UTC)
. А никто не знает, как класс закрытых обозначается? --Основное характеристическое свойство замкнутых множеств
В обратную сторону печаль с доказательством. А везде в интернетах и умных книжках, наоборот, сначала говорится что замкнутое множество - то, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а потом уже доказывается что дополнение к замкнутому - открытое и наоборот. Надо, наверное, подойти к Додонову и спросить что он считает по этому поводу.
В доказательстве осталась небольшая проблема: мы говорим, что
- "каждый входит в вместе с каким-то открытым шаром"
При этом
, вообще говоря, не обязан быть центром шара, однако далее в доказательстве это подразумевается. Лечится это очень просто, достаточно сказать, что если лежит в некотором шаре , то существует шар (надо положить ). Возможно даже, что этот факт уже доказан в статье, но пояснить этот момент в любом случае стоит.
По поводу свойств открытых и замкнутых множеств: почему все открыто, понятно, мы можем представить его как . А почему пустое множество является открытым, типа, это пустое объединение? Далее, раз уж класс замкнутых множеств обладает двойственными свойствами по отношению к классу открытых, то, наверное, свойства будут выглядеть так:
Свойства замкнутых множеств
- — замкнуты
- Если — замкнуто , то — замкнуто
- Если — замкнуты, то — замкнуто
Вроде бы все логично и напрямую следует из законов Де Моргана. В статью пока не впиливаю, потому что в конспекте на эту тему у меня какой-то бред.--Мейнстер Д. 20:43, 4 января 2011 (UTC)