Иммунные и простые множества

Определение:

Множество натуральных чисел [math]A[/math] называется иммунным (англ. immune set ), если оно бесконечно и не содержит бесконечных перечислимых подмножеств.

Определение:

Множество натуральных чисел [math]A[/math] называется простым (англ. simple set ), если [math]A[/math] — перечислимое, бесконечное и дополнение [math]A[/math] — иммунное.

Теорема:

Существует простое множество.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим все программы. Для некоторого перечислимого языка какая-то из них является его перечислителем. Рассмотрим программу [math]q[/math]: [math]q[/math]: for [math](TL = 1\ \ldots +\infty)[/math] for [math](i = 1\ \ldots TL)[/math] запустить [math]i[/math]-ую в главной нумерации программу на [math]TL[/math] шагов напечатать первый [math]x[/math], который вывела эта программа, такой что [math]x \geqslant 2 i[/math] Обозначим [math]E(q)[/math] — множество, которое перечисляет эта программа. Докажем несколько лемм, из которых будет очевидна правильность утверждения теоремы. Необходимо, чтобы перечислимое множество [math]E(q)[/math] имело иммунное дополнение. Это означает, что [math]E(q)[/math] должно пересекаться с любым бесконечным перечислимым множеством. Лемма (1): Для любого бесконечного перечислимого множества [math]B[/math] существует его элемент, принадлежащий [math]E(q)[/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] По построению, для любого множества [math] B [/math] в [math]E(q)[/math] будет содержаться первый его элемент не меньший [math]2 i[/math], где [math]i[/math] — номер перечислителя множества [math]B[/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма (2): Для любого бесконечного перечислимого множества [math]B[/math] верно, что [math]B \not \subset \overline{E(q)}[/math]. Доказательство: [math]\triangleright[/math] По первой лемме существует элемент [math]B[/math], принадлежащий [math]E(q)[/math], и, следовательно, не принадлежащий [math]\overline{E(q)}[/math]. [math]\triangleleft[/math] Лемма (3): [math]\overline{E(q)}[/math] — бесконечно. Доказательство: [math]\triangleright[/math] Среди чисел от [math]1[/math] до [math]k[/math] множеству [math]E(q)[/math] принадлежат не более [math]\frac{k}{2}[/math]. Следовательно [math]\overline{E(q)}[/math] принадлежат не менее [math]\frac{k}{2}[/math] [math]\triangleleft[/math] Вернемся к доказательству теоремы. Получаем: Из леммы (2) и из леммы (3) следует, что [math]\overline{E(q)}[/math] — иммунно. По построению [math]E(q)[/math] перечислимо, его дополнение иммунно и, по лемме (3), бесконечно, а значит — оно простое.

[math]\triangleleft[/math]

Простые множества являются примерами перечислимых множеств, не являющихся m-полными. Именно так и возникло понятие простого множества: Пост (англ. Post ) искал пример перечислимого неразрешимого множества, которое не было бы m-полным.

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
• Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — М.:Мир, 1972. С. 141-143.
• Wikipedia — Simple set