Convex hull trick

Постановка примера задачи

Есть n деревьев с высотами a1, a2, … an. Требуется спилить их все, потратив минимальное количество монет на заправку бензопилы. Но пила устроена так, что после уменьшения высоты спиливаемого дерева на 1 ее надо заправить. Причем стоимость заправки зависит от срубленных (полностью) деревьев. Если сейчас максимальный индекс срубленного дерева равен i, то цена заправки равна ci. Изначально пила заправлена. И известны следующие ограничения : c[n] = 0, a[1] = 1, a[i] возрастают, c[i] убывают. (Задача с codeforces.com)

Наивное решение

Понятно, что нужно затратив минимальную стоимость срубить последнее (n-е) дерево, т.к. после него все деревья можно будет пилить бесплатно (т.к. c[n] = 0). Посчитаем следующую динамику : dp[i] - минимальная стоимость, заплатив которую будет срублено дерево номер i. Тогда dp[i] = min(dp[j] + a[i] * c[j]) по всем j < i. То есть понятно, что выгодно рубить сначала более дорогие и низкие деревья, а потом более высокие и дешвые (док-во этого факта оставляется читателям как несложное упражнение). Тогда переберем j < i - индекс предыдущего срубленного дерева. Пусть мы его срубили отптимальным (в смысле денег) способом. Тогда просто a[i] раз уменьшим высоту дерева i на 1. Каждый такой раз будем платить c[j] за последующую заправку пилы. Итак, на сруб i-го дерева мы заплатили a[i]*c[j]. 
Нетрудно видеть, что такая динамика работает за O(n^2).