Теорема Вагнера

Определение:

Минором графа (англ. Graph minor) [math]G[/math] будем называть граф [math]H[/math], если [math]H[/math] может быть образован из [math]G[/math] удалением рёбер и вершин или стягиванием рёбер.

Пример

В следующем примере граф [math]H[/math] является минором графа [math]G[/math]:

[math]G[/math]

[math]H[/math]

Теорема:

Граф планарен тогда и только тогда, когда его миноры не содержат ни [math] K_{5} [/math] ни [math] K_{3, 3} [/math] .

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Иначе говоря в соответствии с теоремой Понтрягина-Куратовского, теорему можно переформулировать: « В графе [math]G[/math] есть миноры содержащие [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] тогда и только тогда, когда существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] » [math]\Rightarrow[/math] Разделим доказательство на две части Если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math], тогда в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math]. Если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{5} [/math], тогда в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный либо [math] K_{3, 3} [/math] , либо [math] K_{5} [/math]. Доказательство первой части В силу определения минора, если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{3, 3} [/math],значит существуют множества вершин [math] U_{1} [/math], [math] U_{2} [/math], [math] U_{3} [/math], [math] W_{1} [/math], [math] W_{2} [/math], [math] W_{3} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф [math]G[/math], такие что для каждого [math]i[/math] и [math]j[/math] существует [math] {u_{i, j} \in U_{i}} [/math] и [math] {w_{i, j} \in W_{j}} [/math], такие что [math]({u_{i,j}} [/math],[math] {w_{i,j}})[/math] принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для каждого [math]i[/math] существует поддерево в [math]G[/math] , у которого три листа [math]w_{1} \in W_{1}[/math], [math]w_{2} \in W_{2}[/math], [math]w_{3} \in W_{3}[/math], а все остальные вершины подграфа принадлежат [math] U_{i} [/math]. Ситуация с [math]j[/math] симметрична. Вследствие леммы о рукопожатиях, дерево с тремя вершинами гомеоморфно [math] K_{1, 3} [/math]. Таким образом, в [math]G[/math] существует подграф гомеоморфный шести копиям [math] K_{1, 3} [/math] соединенные три на три, т.е. получаем [math] K_{3, 3} [/math]. Доказательство второй части В силу определения минора, если в [math]G[/math] существует минор содержащий [math] K_{5} [/math],значит существуют множества вершин [math] U_{1} \ldots U_{5} [/math] попарно не пересекающиеся, образующие индуцированный связанный подграф [math]G[/math], такие что для всех [math] {i \ne j} [/math] существует [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{i}} [/math] и [math] {u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace} \in U_{j}} [/math], такие что ( [math] {u_{i; \left \lbrace i,j \right \rbrace}, u_{j; \left \lbrace i,j \right \rbrace}} [/math]) принадлежит множеству ребер исходного графа. Следовательно для любого [math]i[/math] существует поддерево [math] T_{i} [/math] в [math]G[/math] с четырьмя листьями, по одному листу в каждом [math] U_{j} [/math] [math]({i \ne j}) [/math] и с остальными вершинами внутри [math] U_{i} [/math]. В следствие леммы о рукопожатиях дерево с четырьмя вершинами гомеоморфно либо [math] K_{1, 4} [/math], либо двум связным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Значит в [math]G[/math] есть подграф гомеоморфный пяти копиям [math] K_{1, 4} [/math], соединенные друг с другом. Т.е. получаем [math] K_{5} [/math]. В противном случае подграф гомеоморфный [math] K_{3, 3} [/math] может быть получен с помощью следующих процедур: Берем одну из [math] T_{i} [/math] гомеоморфную двум соединенным копиям [math] K_{1, 3} [/math]. Назовем их [math] T_{i, r} [/math] и [math] T_{i, b} [/math]. Покрасим в красный вершины [math] T_{i, r} [/math], за исключением двух вершин которые будут окрашены в синий. Покрасим в синий вершины [math] T_{i, b} [/math], за исключением двух вершин которые окрашены в красный. Покрасим в синий вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, r} [/math]. Покрасим в красный вершины [math] T_{j} [/math], которые включают в себя [math] T_{i, b} [/math]. Удалим ребра соединяющие одноцветные вершины из разных [math] T_{j} [/math]. Такое "обрезание" приведет к тому что [math] T_{j} [/math] будут иметь по три вершины, каждая содержится в таком подграфе, что она окрашено в другой цвет чем остальные вершины. Граф сформированный из красных и синих вершин вместе с оставшимися ребрами изоморфен [math] K_{3, 3} [/math]. [math]\Leftarrow[/math] Пусть существует подграф гомеоморфный [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math]. В силу гомеоморфизма, заметим, что данные подграфы можно получить только путем стягивания ребер между вершинами такими, что хотя бы одна их них должна иметь степень 2. Удалим все ребра и вершины графа, которые не входят в этот подграф. Таким образом, мы получили минор содержащий [math] K_{5} [/math] или [math] K_{3, 3} [/math] соответственно.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Теорема Понтрягина-Куратовского

Источники информации

• Graph minor — Wikipedia
• Geir Agnarsson, Raymond Greenlaw. Graph Theory: Modeling, Applications and Algorithms, 2006 — глава 7.5 стр. 210