Иммунные и простые множества

Определение:

Множество А называется имунным, если А - бесконечное, для любого бесконечного перечислимого B, [math]B \not \subset A[/math].

Определение:

Множество A называется простым, если A - перечислимое, бесконечное и дополнение A - имунно.

Теорема:

Существует простое множество.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим все программы в порядке нумерации, каждая из них задает некоторый перечислимый язык, причем каждому языку соответствует программа. Напишем следующую программу q: q: for (TL = 1 .. [math]+\infty[/math]) for (i = 1 .. TL) запустить i-ую программу на TL шагов (U - универсальная программа) напечатать первый [math]x \ge 2 * i[/math], который вывела эта программа Множество E(q), которое перечисляет эта программа: перечислимо; бесконечно (Существует бесконечное количество бесконечных множеств. В каждом из них есть элемент [math]x \ge 2 * i[/math], где i - номер программы перечисляющей это множество.) Дополнение этого множества [math]\overline{E(q)}[/math] бесконечно: для первых k слов, множеству E(q) принадлежат не более [math]\frac{k}{2}[/math] Для любого перечислимого множества B, существует его элемент принадлежащий [math]E(q)[/math], и следовательно не принадлежащий [math]\overline{E(q)}[/math], [math]\overline{E(q)} \not \subset A[/math] Таким образом [math]\overline{E(q)}[/math] --- имунно, а [math]E(q)[/math] --- простое.

[math]\triangleleft[/math]