Монотонный код Грея — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 70: Строка 70:
 
</center>
 
</center>
  
−
Монотонный код Грея может быть эффективно сгенерирован по этому алгоритму за время <tex>O(n)</tex>. Легче всего написать этот алгоритм используя сопрограмму.
+
Монотонный код Грея может быть эффективно сгенерирован по этому алгоритму за время <tex>O(n)</tex>. Легче всего написать этот алгоритм используя генератор.
  
 
=== Псевдокод ===
 
=== Псевдокод ===
 +
Перед тем как писать псевдокод необходимо объяснить что такое <code>'''yield'''</code> и что понимать под выражениями типа <code>(0,)</code> или <code>(1,)</code>.
 +
 +
<code>'''yield'''</code> - аналог <code>'''return'''</code> только для функций-генераторов. То есть генераторы это тоже итерируемые объекты, но прочитать их можно лишь один раз. Это связано с тем, что они не хранят значения в памяти, а генерируют их на лету.
 +
 +
С конструкциями типа <code>(0,)</code> или <code>(1,)</code> все проще. Используя ее совместно с <code>'''yield'''</code> мы можем в изменять наш генерируемый объект. Например, <code>'''yield''' (0,)</code> допишет к генерируемому объекту (в нашем случае кортежу (англ. ''tuple'')) <tex>0</tex> в начало.
 
{| border="0"  
 
{| border="0"  
 
|align="left" colspan="4"|
 
|align="left" colspan="4"|
 +
*Вспомогательная функция для генерации перестановки, циклически сдвигает битовый вектор направо <tex>n</tex> раз.
 +
*Принимает и возвращает котреж. Кортеж аналог списка, но в кортеже нельзя менять элементы, можно только добавлять.
 
<code>
 
<code>
−
  rotateRight(x, n):<font color=green> // Вспомогательная функция для генерации перестановки, циклически сдвигает битовый вектор направо <tex>n</tex> раз. Принимает и возвращает котреж (англ. ''tuple''). Кортеж аналог списка, но в кортеже нельзя менять элементы, можно только добавлять.</font>
+
  rotateRight(x, n):
 
     '''return''' x[-n:] + x[:-n]
 
     '''return''' x[-n:] + x[:-n]
−
pi(n):<font color=green> // Рекурсивная генерация <tex>n</tex>-ой перестановки. Возвращает перестановку в виде кортежа. Если n становится меньше <tex>2</tex> дописывает в начало кортежа <tex>0</tex> и возвращает его.</font>
+
</code>
 +
*Рекурсивная генерация <tex>n</tex>-ой перестановки.  
 +
*Возвращает перестановку в виде кортежа.  
 +
*Если n становится меньше <tex>2</tex> дописывает в начало кортежа <tex>0</tex> и возвращает его.
 +
<code>
 +
pi(n):
 
     '''if''' n <= 1:
 
     '''if''' n <= 1:
 
         '''return''' (0,)
 
         '''return''' (0,)
 
     x = pi(n - 1) + (n - 1,)
 
     x = pi(n - 1) + (n - 1,)
 
     '''return''' rotate_right('''tuple'''(x[k] '''for''' k '''in''' x), 1)
 
     '''return''' rotate_right('''tuple'''(x[k] '''for''' k '''in''' x), 1)
−
p(n, j, reverse = ''false''):<font color=green> // Рекурсивная генерация пути <tex>P_{n, j}</tex>. Принимает <tex>n, j</tex>, а так же дополнительный параметр определяющий надо-ли переворачивать кортеж.</font>
+
</code>
 +
*Рекурсивная генерация пути <tex>P_{n, j}</tex>.  
 +
*Принимает <tex>n, j</tex>, а так же дополнительный параметр определяющий надо-ли переворачивать кортеж.
 +
<code>
 +
p(n, j, reverse = ''false''):
 
     if n == 1 and j == 0:
 
     if n == 1 and j == 0:
 
         '''if''' '''not''' reverse:
 
         '''if''' '''not''' reverse:
Строка 102: Строка 118:
 
                 '''yield''' (0,) + x
 
                 '''yield''' (0,) + x
 
             '''for''' x '''in''' p(n - 1, j - 1, reverse=True):
 
             '''for''' x '''in''' p(n - 1, j - 1, reverse=True):
−
                 '''yield''' (1,) + '''tuple'''(x[k] '''for''' k '''in''' perm)  
+
                 '''yield''' (1,) + '''tuple'''(x[k] '''for''' k '''in''' perm)
−
monotonic(n):<font color=green> // Генерация монотонного кода Грея при помощи уже написанной сопрограммы p.</font>
+
</code>
 +
*Генерация монотонного кода Грея при помощи уже написанного генератора p.
 +
<code>  
 +
monotonic(n):
 
     '''for''' i '''in''' range(n):
 
     '''for''' i '''in''' range(n):
 
         '''for''' x '''in''' (p(n, i) '''if''' i % 2 == 0 '''else''' p(n, i, reverse=True)):
 
         '''for''' x '''in''' (p(n, i) '''if''' i % 2 == 0 '''else''' p(n, i, reverse=True)):

Версия 15:33, 18 декабря 2016

Определение:
Монотонный код Грея (англ. Monotonic Gray Code) — способ построения кода Грея, при котором [math]\nexists[/math] [math]g_i, g_j[/math], что [math]g_i[/math] содержит на [math]2[/math] или больше единиц, чем [math]g_j[/math].

Монотонный код Грея преимущественно используется в теории связанных сетей, например для минимизации ожидания линейным массивом процессоров.[1]

Алгоритм построения

Для начала определим такое понятие, как вес двоичного кода, им будет являтся количество [math]1[/math] в данном двоичном коде. Очевидно, что нельзя построить код Грея в котором бы вес всегда возрастал. Неплохим решением этой проблемы будет обход всех кодов со смежными с данным весами.

Мы можем формализовать модель монотонных кодов Грея рассматривая разбиение гиперкуба [math]Q_n = (V_n, E_n)[/math], вершины в котором являются двоичными кодами, на уровни с одинаковым весом вершин.

[math] V_n(i) = \{ v \mid v \text{ has weight } i \} [/math]

для [math]0 \leqslant i \leqslant n[/math]. Для всех уровней выполняется соотношение [math]|V_n(i)| = C_n^i[/math].

Пусть [math]Q_n(i)[/math] подграф [math]Q_n[/math], который является объединением двух смежных уровней, т. е. [math]V_n(i) \cup V_n(i+1)[/math], и пусть [math]E_n(i)[/math] множество граней [math]Q_n(i)[/math]. Тогда монотонным кодом Грея будет являтся Гамильтонов путь в [math]Q_n[/math], при котором любое множество вершин [math]\delta_1 , \delta_2[/math] такие, что [math]\forall i, j : i \leqslant j[/math], то [math]\delta_1 \in E_n(i)[/math] идет перед [math]\delta_2 \in E_n(j)[/math].

Ниже на катринке Гамильтонов путь в гиперкубе [math]Q_4[/math] для [math]n = 4[/math], построенный по алгоритму Саважа-Винклера (англ. Savage-Winkler).[2]

4-ичный монотонный код Грея

Элегантная идея построения [math]n[/math]-ичного монотонного кода Грея состоит в том, чтобы рекурсивно строить подпути [math]P_{n,j}[/math] длинны [math]2C_n^j[/math] включающих вершины [math]E_n(j)[/math].

Определим [math]P_{1,0} = (0, 1)[/math] и [math]P_{n,j} = \emptyset[/math], когда [math]j \lt 0[/math] или [math]j \geqslant n[/math] и [math] P_{n+1,j} = 1P^{\pi_n}_{n,j-1}, 0P_{n,j} [/math]. То есть [math]P_{n+1, j}[/math] это объединение множеств [math]P^{\pi_n}_{n,j-1}[/math] с приписанной в начале 1 и [math]P_{n,j}[/math] с приписанным в начале нулем.

Здесь [math]\pi_n[/math] это определенная перестановка элементов множества к которому она применена, а [math]P^{\pi}[/math] это путь [math]P[/math] к котрому была применена пересатновка [math]\pi[/math]. Существует два варианта построить монотонный код грея по путям [math]P_{n, j}[/math].

Назовем их [math]G_n^{(1)}[/math] и [math]G_n^{(2)}[/math]. Будем строить их таким образом: [math] G_n^{(1)} = P_{n,0} P_{n,1}^R P_{n,2} P_{n,3}^R \ldots \text{, } G_n^{(2)} = P_{n,0}^R P_{n,1} P_{n,2}^R P_{n,3} \ldots [/math]

Выбор перестановки [math]\pi_n[/math] обусловлен тем, чтобы получившиеся коды соответсвовали требованиям кода Грея и поэтому эта перестановка равна [math]\pi_n = E^{-1}(\pi_{n-1}^2)[/math].

Чтобы лучше разобратся в том, как сторится этот код и работает перестановка [math]\pi[/math] следует рассмотреть таблицу ниже.

Подпути алгоритма Саважа-Винклера
[math]P_{n,j}[/math] [math]j = 0[/math] [math]j = 1[/math] [math]j = 2[/math] [math]j = 3[/math]
[math]n = 1[/math] [math]0, 1[/math]
[math]n = 2[/math] [math]00, 01[/math] [math]10, 11[/math]
[math]n = 3[/math] [math]000, 001[/math] [math]100, 110, 010, 011[/math] [math]101, 111[/math]
[math]n = 4[/math] [math]0000, 0001[/math] [math]1000, 1100, 0100, 0110, 0010, 0011[/math] [math]1010, 1011, 1001, 1101, 0101, 0111[/math] [math]1110, 1111[/math]

Монотонный код Грея может быть эффективно сгенерирован по этому алгоритму за время [math]O(n)[/math]. Легче всего написать этот алгоритм используя генератор.

Псевдокод

Перед тем как писать псевдокод необходимо объяснить что такое yield и что понимать под выражениями типа (0,) или (1,).

yield - аналог return только для функций-генераторов. То есть генераторы это тоже итерируемые объекты, но прочитать их можно лишь один раз. Это связано с тем, что они не хранят значения в памяти, а генерируют их на лету.

С конструкциями типа (0,) или (1,) все проще. Используя ее совместно с yield мы можем в изменять наш генерируемый объект. Например, yield (0,) допишет к генерируемому объекту (в нашем случае кортежу (англ. tuple)) [math]0[/math] в начало.

  • Вспомогательная функция для генерации перестановки, циклически сдвигает битовый вектор направо [math]n[/math] раз.
  • Принимает и возвращает котреж. Кортеж аналог списка, но в кортеже нельзя менять элементы, можно только добавлять.

rotateRight(x, n):
   return x[-n:] + x[:-n]

  • Рекурсивная генерация [math]n[/math]-ой перестановки.
  • Возвращает перестановку в виде кортежа.
  • Если n становится меньше [math]2[/math] дописывает в начало кортежа [math]0[/math] и возвращает его.

pi(n):
   if n <= 1:
       return (0,)
   x = pi(n - 1) + (n - 1,)
   return rotate_right(tuple(x[k] for k in x), 1)

  • Рекурсивная генерация пути [math]P_{n, j}[/math].
  • Принимает [math]n, j[/math], а так же дополнительный параметр определяющий надо-ли переворачивать кортеж.

p(n, j, reverse = false):
   if n == 1 and j == 0:
       if not reverse:
           yield (0,)
           yield (1,)
       else:
           yield (1,)
           yield (0,)
   elif j >= 0 and j < n:
       perm = pi(n - 1)
       if not reverse:
           for x in p(n - 1, j - 1):
               yield (1,) + tuple(x[k] for k in perm)
           for x in p(n - 1, j):
               yield (0,) + x
       else:
           for x in p(n - 1, j, reverse=True):
               yield (0,) + x
           for x in p(n - 1, j - 1, reverse=True):
               yield (1,) + tuple(x[k] for k in perm)

  • Генерация монотонного кода Грея при помощи уже написанного генератора p.

monotonic(n):
   for i in range(n):
       for x in (p(n, i) if i % 2 == 0 else p(n, i, reverse=True)):
           yield x

Визуализация работы алгоритма

Для [math]n = 5[/math]

Визуализация работы алгоритма для 5-ичного кода

Для [math]n = 6[/math]

Визуализация работы алгоритма для 6-ичного кода

См. Также

Примечания

  1. ↑ C. D Savage and P. Winkler (1995). "Monotone Gray codes and the middle levels problem"page 7
  2. ↑ C. D Savage and P. Winkler (1995). "Monotone Gray codes and the middle levels problem"page 14

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Монотонный_код_Грея&oldid=57962»