Аффинное пространство

<wikitex>==Определения==

Определение:

Аффинное пространство – это множество $A$, ассоциированное с векторным пространством $V$ над полем $K$ и свободным действием аддитивной группы $V$.

Элементы аффинного пространства $A$ называются точками, элементы векторного пространства $V$ – векторами.

Другим языком, данное определение говорит, что существует отображение $(+) : A \times V \rightarrow A$, обладающее следующими свойствами:

1. $\forall a \in A : a + 0 = a$;
2. $\forall v, w \in V, a \in A : (a + v) + w = a + (v + w)$;
3. Для всех $a$ из $A$ отображение $(a+)$ биективно (и для всех $v$ из $V$ $(+v)$ тоже биективно).

Последнее свойство позволяет определить вычитание двух элементов из $A$. Пусть $a, b \in A$, тогда $b - a$ или $\overrightarrow{ab}$ это такой вектор из $V$, что $a + \overrightarrow{ab} = b$. Таким образом определённое вычитание обладает следующими свойствами:

1. $\forall a \in A, v \in V \ \exists ! b \in A : \overrightarrow{ab} = v$;
2. $\forall a, b, c \in A : \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bc} = \overrightarrow{ac}$.

Базисы

Определение:

Пространство называется [math]d[/math]-мерным, если в нём существует набор из [math]d[/math] линейно независимых векторов, и не существует набора из [math]d + 1[/math] линейно независимого вектора.

Единственность

Утверждение:

В [math]d[/math]-мерном пространстве любой вектор [math]\vec{A}[/math] единственным образом раскладывается в базисе из [math]d[/math] линейно независимых векторов [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d[/math] как [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i[/math].

[math]\triangleright[/math]

Если мы добавим в базис вектор [math]\vec{A}[/math], то он обязательно станет линейно зависимым, и, значит, найдутся такие [math]\beta[/math] и [math]\{\alpha_i\}[/math], что [math]\displaystyle \beta \vec{A} + \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=0 \implies \vec{A} = \sum\limits_{i=1}^d-\frac{\alpha_i}{\beta}\vec{e}_i[/math], и, значит, разложение существует. Теперь пусть есть два разложения [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math] и [math]\sum_{i=1}^d\beta_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math]. Тогда [math]\displaystyle \vec{A} - \vec{A} = \vec{0} = \sum_{i=1}^d(\alpha_i - \beta_i)\vec{e}_i[/math], однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть [math]\alpha_i - \beta_i = 0 \implies \alpha_i = \beta_i \implies[/math]   разложение единственно.

[math]\triangleleft[/math]

Матрица перехода

Мы можем переходить из одного базиса в другой. Пусть у нас есть базисы [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d[/math] и [math]\{\vec{f}_i\}_{i=1}^d[/math].

[math]\displaystyle \vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i = \sum_{i=1}^d\beta_i\vec{f}_i \ \land\ \vec{e}_i = \sum_{j=1}^d c_{ij}\vec{f}_j[/math]

[math]\displaystyle \vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i = \sum_{i=1}^d \alpha_i \sum_{j=1}^d c_{ij} \vec{f}_j = \sum_{j=1}^d \vec{f}_j \sum_{i=1}^d \alpha_i c_{ij}[/math]

[math]\displaystyle \beta_j = \sum_{i=1}^d\alpha_i c_{ij} \implies \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{21} & \cdots & c_{d1} \\ c_{12} & c_{22} & \cdots & c_{d2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{1d} & c_{2d} & \cdots & c_{dd} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_d \end{pmatrix} [/math]