Комбинаторные объекты

Определение:

Комбинаторные объекты (англ. combinatorial objects) — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Определение:

Если два комбинаторных объекта, различающихся только порядком элементов, считаются различными, то они называются упорядоченными.

Примеры комбинаторных объектов

Битовые вектора

Битовые вектора — последовательность нулей и единиц заданной длины. Количество таких объектов вычисляется по формуле [math]2^{n}[/math], так как на каждое из [math]n[/math] мест мы можем поставить один из двух элементов.

Перестановки

Перестановки — это упорядоченный набор чисел [math]1, 2,\ldots, n[/math], обычно трактуемый как биекция на множестве [math]\{ 1, 2,\ldots, n \}[/math], которая числу [math]i[/math] ставит соответствие [math]i[/math]-й элемент из набора. Количество перестановок равно [math]P_n = n![/math]. Получить эту формулу можно следующим образом: поставим один из [math]n[/math] элементов на первое место, далее поставим на второе один из [math]n - 1[/math] оставшихся элементов,... один из [math]1[/math] элемента на последнее. Всего таких выборов можно совершить [math]n \times (n - 1) \times ... \times 1 = n![/math].

Размещения

Размещение из [math]n[/math] по [math]k[/math] — это упорядоченный набор из [math]k[/math] различных элементов некоторого [math]n[/math]-элементного множества. Таких наборов [math]A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}[/math]. Выведем формулу подобно тому, как выводили для перестановок: на первое место можно поставить один из [math]n[/math] элементов, на следующее один из [math]n - 1[/math],... и на последнее один из [math]n - k + 1[/math]. Всего получится [math]n \times (n - 1) \times ... \times (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}[/math].

Сочетания

Сочетания из [math]n[/math] по [math]k[/math] — это набор [math]k[/math] элементов, выбранных из данных [math]n[/math] элементов. Количество таких наборов вычисляется по формуле [math]C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}[/math]. Выведем данную формулу из формулы размещений, а именно заметим, что в размещениях порядок элементов имеет значение, а в сочетаниях нет. Это значит, что наборы [math]\{1, 2\}[/math] и [math]\{2, 1\}[/math] эквивалентны. То есть в размещениях любой вариант сочетания повторяется столько же раз, сколько можно сделать перестановок для [math]k[/math] мест. Тогда [math]C^{k}_n = \frac{A^{k}_n}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}[/math].

=== Разбиение === https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D0%B1%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0 Разбиение числа на неупорядоченные слагаемые — это представление числа [math]n[/math] в виде суммы слагаемых.

Разбиение

Разбиение множества [math]X[/math] на подмножества называется семейство непустых множеств [math]\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}[/math], где [math]A[/math] — некоторое множество индексов, если:

1. [math]U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset[/math] для любых [math]\alpha, \beta \in A[/math], таких что [math]\alpha \not= \beta[/math];
2. [math]X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}[/math].

Подсчет числа комбинаторных объектов с помощью рекуррентных формул

Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с [math]n[/math] предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов (одного, двух) решение задачи легко находится.

Количество разбиений числа на неупорядоченные слагаемые

Пусть [math]n[/math] - число, которое мы разбиваем, а [math]t[/math] - максимальное слагаемое в разбиении, тогда количество разбиений числа на слагаемые удовлетворяет рекуррентному соотношению:

[math]A(0, t) = 0[/math], где [math]t \gt 0[/math],

[math]A(1, 1) = 1[/math],

[math]A(n, t) = A(n, t - 1) + A(n - t, t)[/math]

Количество неупорядоченных разбиений [math]n[/math]-элементного множества на [math]k[/math] непустых подмножеств.

• Применение чисел Стирлинга второго порядка

Источники

• Википедия - Комбинаторика
• Wikipedia - Combinatorics