30
правок
Изменения
→Связь пересечения полуплоскостей с выпуклой оболочкой
'''Важно:''' Покажем конструктивный алгоритм для множестве полуплоскостей, не содержащих вертикальный полуплоскости. После леммы приведены два рассуждения, позволяющие снять данное ограничение.
Рассмотрим планарный случай и предположим, что вертикальные и параллельные прямые отсутствуют (в конце приведем два способа решения данной проблемы).
Пусть у нас есть множество ориентированных прямых, каждая из которых задает полуплоскость(направление вектора нормали задаёт нужную полуплоскость).
#<tex>p</tex> <tex>\in</tex> <tex>l</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>l^\star</tex> <tex>\in</tex> <tex>p^\star</tex>, где <tex>p</tex> - точка в исходном пространстве, <tex>l</tex> - прямая в исходном пространстве, <tex>l^\star</tex>, <tex>p^\star</tex> - их дуальное отображение.
#<tex>p</tex> лежит "над" <tex>l</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>l^\star</tex> лежит "над" <tex>p^\star</tex>
[[Файл:DualSpaceCH.png |400px|thumb|right| Множество точек в двойственном пространстве]]
[[Файл:DualSpaceCH400.png |400px|thumb|right| Множество прямых в исходном пространстве]]
Рассмотрим множество точек(<tex>P^\star</tex>) в двойственном пространстве и рассмотрим верхнюю часть выпуклой оболочки, построенной на этих точках. Обозначим её за <tex>\mathcal{UH}</tex>(Upper hull)
По свойству выпуклой оболочки, любое ребро из цепи <tex>\mathcal{UH}</tex> содержит "ниже" себя все точки множества <tex>P^\star</tex>, а так же эта цепь соединяет самую правую точку с самой левой.
Рассмотрим какую-то точку <tex>p^\star \in P^\star</tex> и заметим, что она будет принадлежать цепи <tex>\mathcal{UH}</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> <tex>\exists</tex> прямая <tex>l^\star </tex> : <tex>p^\star \in l^\star</tex> и все точки из <tex>P^\star</tex> лежат ниже <tex>l^\star</tex> (сейчаc мы жили в двойственном пространстве). В обычном пространстве данный факт эквивалентен следующему:
Для какой-то прямой <tex>l \in L</tex>
}}
