Группы графов

Определение:

Автоморфизмом (англ. Automorphism) графа [math]G[/math] называется изоморфизм графа [math]G[/math] на себя

Каждый автоморфизм [math]\alpha[/math] графа [math]G[/math] есть подстановка множества вершин [math]V[/math], сохраняющая смежность. Конечно, подстановка [math]\alpha[/math] переводит любую вершину графа в вершину той же степени. Очевидно, что последовательное выполнение двух автоморфизмов есть также автоморфизм;

Определение:

Автоморфизмы графа [math] G [/math] образуют группу подстановок [math] \Gamma (G) [/math], действующую на множестве вершин [math]V(G)[/math]. Эту группу называют группой или иногда вершинной группой графа [math]G[/math] (англ. point-group).

Определение:

Вершинная группа графа [math]G[/math] индуцирует другую группу подстановок [math] \Gamma_1 (G) [/math], называемую реберной группой графа [math]G[/math] (англ. line-group) — она действует на множестве ребер [math]E(G)[/math].

Для иллюстрации различия групп [math]\Gamma[/math] и [math]\Gamma_1[/math] рассмотрим граф [math]K_4 - x[/math], показанный на рисунке; его вершины помечены [math]v_1 , v_2, v_3, v_4 [/math] а ребра [math]x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 [/math]. Вершинная группа [math]\Gamma (K_4 - x) [/math] состоит из четырех подстановок [math](v_1)(v_2)(v_3)(v_4); (v_1)(v_3)(v_2v_4); (v_2)(v_4)(v_1v_3); (v_1v_3)(v_2v_4).[/math]

Тождественная подстановка вершинной группы индуцирует тождественную подстановку на множестве ребер, в то время как подстановка [math](v_1)(v_3)(v_2v_4)[/math] индуцирует подстановку на множестве ребер, в которой ребро [math]x_5[/math] остается на месте, [math] x_1[/math] меняется с [math]x_4[/math], а [math]x_2[/math] с [math]x_3[/math]. Таким образом, реберная группа [math]\Gamma_1 (K_4 - x) [/math] состоит из следующих подстановок, индуцируемых указанными выше элементами вершинной группы: [math](x_1)(x_2)(x_3)(x_4)(x_5); (x_1x_4)(x_2x_3)(x_5); (x_1x_2)(x_3x_4)(x_5); (x_1x_3)(x_2x_4)(x_5).[/math]

Понятно, что реберная и вершинная группы графа [math]K_4 - х[/math] изоморфны. Но они, конечно, не могут быть идентичными, так как степень группы [math]\Gamma_1 (K_4 - x) [/math] равна [math]5[/math], а степень группы [math]\Gamma (K_4 - x) [/math] равна [math]4[/math].

Теорема:

Реберная и вершинная группы графа [math]G[/math] изоморфны тогда и только тогда, когда граф [math]G[/math] имеет не более одной изолированной вершины, а граф [math]K_2[/math] не является его компонентой.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть подстановка [math]\alpha'[/math] группы [math]\Gamma_1(G)[/math] индуцируется подстановкой [math]\alpha[/math] группы [math]\Gamma(G)[/math]. Из определения операции умножения в группе [math]\Gamma_1(G)[/math] вытекает, что [math]\alpha'\beta'=\alpha\beta[/math] для [math]\forall \alpha,\beta \in \Gamma(G)[/math]. Поэтому отображение [math]\alpha\rightarrow\alpha '[/math] является групповым гомоморфизмом группы [math]\Gamma(G)[/math] на [math]\Gamma_1(G)[/math]. Следовательно, [math]\Gamma(G)\cong\Gamma_1(G)[/math] тогда и только тогда, когда ядро этого отображения тривиально. [math] \Rightarrow [/math] Для доказательства необходимости предположим, что [math]\Gamma(G)\cong\Gamma_1(G)[/math]. Тогда из неравенства [math]\alpha\not=i[/math]([math]i[/math] — тождественная подстановка) следует, что [math]\alpha'\not=i[/math]. Если в графе [math]G[/math] существуют две различные изолированные вершины [math]v_1[/math] и [math]v_2[/math], то можно определить подстановку [math]\alpha\in\Gamma(G)[/math], положив [math]\alpha(v_1) = v_2, \alpha(v_2) = v_1, \alpha(v) = v[/math] для [math]\forall v \not= v_1,v_2 [/math]. Тогда [math]\alpha\not=i[/math], но [math]\alpha'=i[/math]. Если [math]K_2[/math] — компонента графа [math]G[/math], то, записав ребро графа [math]K_2[/math] в виде [math]x = v_1v_2[/math] и определив подстановку [math]\alpha\in\Gamma(g)[/math] точно так же, как выше, получим [math]\alpha\not=i[/math], но [math]\alpha'=i[/math]. [math] \Leftarrow [/math] Чтобы доказать достаточность, предположим, что граф [math]G[/math] имеет не больше одной изолированной вершины и [math]K_2[/math] не является его компонентой. Если группа [math]\Gamma(G)[/math] тривиальна, то очевидно, что группа [math]\Gamma_1(G)[/math] оставляет на месте каждое ребро и, следовательно, [math]\Gamma_1(G)[/math] — тривиальная группа. Поэтому предположим, что существует подстановка [math]\alpha\in\Gamma(G)[/math], для которой [math]\alpha(u)=v\not=u[/math]. Тогда степени вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] равны. Поскольку вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] не изолированы, их степени не равны нулю. Здесь возникает два случая. Случай 1. Вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] смежны. Пусть [math]x=uv[/math]. Так как [math]K_2[/math] не является компонентой графа [math]G[/math], то степени обеих вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] больше единицы. Следовательно, существует такое ребро [math]y \not= x[/math] инцидентное вершине [math]u[/math], что ребро [math]\alpha'(y)[/math] инцидентно вершине [math]v[/math]. Отсюда [math]\alpha'(y) \not= y[/math], и тогда [math]\alpha'\not=i[/math]. Случай 2. Вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] не смежны. Пусть [math]x[/math] — произвольное ребро, инцидентное вершине [math]u[/math]. Тогда [math]\alpha'(x) \not= x[/math], следовательно, [math]\alpha'\not=i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Операции на группах подстановок

Пусть [math]A[/math] — группа подстановок порядка [math]m = |A|[/math] и степени [math]d[/math], действующая на множестве [math]X = \{x_1,x_2,\ldots,x_d\}[/math], а [math]B[/math] — другая группа подстановок порядка [math]n = |B|[/math] и степени [math]e[/math], действующая на множестве [math]Y = \{y_1,y_2,\ldots,y_e\}[/math]. Например, пусть [math]A = C_3[/math] — циклическая группа порядка [math]3[/math], действующая на множестве [math]X={1, 2, 3}[/math]. Эта группа состоит из трех подстановок [math](1)(2)(3), (123)[/math] и [math](132)[/math]. Если взять в качестве [math]B[/math] симметрическую группу [math]S_2[/math] порядка [math]2[/math], действующую на множестве [math]Y = \{a,b\}[/math], то получим две подстановки [math](a)(b)[/math] и [math](ab)[/math]. Проиллюстрируем на этих двух группах подстановок действие нескольких бинарных операций.

Сумма подстановок

[math]A + B[/math] — это группа подстановок, действующая на объединении [math]X \cup Y[/math] непересекающихся множеств [math]X[/math] и [math]Y[/math] элементы которой записываются в виде [math]\alpha + \beta[/math] и представляют собой упорядоченные пары подстановок [math]\alpha[/math] из [math]A[/math] и [math]\beta[/math] из [math]B[/math]. Каждый элемент [math]z[/math], принадлежащий множеству [math]X \cup Y[/math] преобразуется подстановкой [math]\alpha + \beta[/math] по правилу

[math] (\alpha + \beta)(z) = \begin{cases} \alpha z, z \in X, \\ \beta z, z \in Y. \end{cases} [/math]

Таким образом, группа [math]C_3 + S_2[/math] содержит [math]6[/math] подстановок, каждую из которых можно записать в виде суммы подстановок [math]\alpha \in C_3[/math] и [math]\beta\in S_2[/math], как, например, [math](123)(ab)=(123)+(ab)[/math]. (степень равна [math]5[/math].)

Произведение групп

[math]A \times B [/math] — это группа подстановок, действующая на множестве [math]X\times Y[/math], элементы которой записываются в виде [math]\alpha\times\beta[/math] и представляют собой упорядоченные пары подстановок [math]\alpha[/math] из [math]A[/math] и [math]\beta[/math] из [math]B[/math]. Элемент [math](x,y)[/math] множества [math]X\times Y[/math] преобразуется подстановкой [math]\alpha\times\beta[/math] естественным образом:

[math](\alpha\times\beta)(x,y)=(\alpha x,\beta y)[/math]

Подстановкой в группе [math]C_3\times S_2[/math], которая соответствует подстановке [math](123)+(ab)[/math] будет [math](1a\ 2b\ 3a\ 1b\ 2a\ 3b)[/math], где для краткости символ [math](1,a)[/math] заменен на [math]1a[/math]. (Порядок и степень равны [math]6[/math].)

Композиция групп

[math]A[B][/math] группы [math]A[/math] относительно группы [math]B[/math] также действует на множестве [math]X\times Y[/math]. Для любой подстановки [math]\alpha[/math] из [math]A[/math] и любой последовательности [math](\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)[/math], содержащей [math]d[/math] (не обязательно различных) подстановок из [math]B[/math], существует единственная подстановка из [math]A[B][/math], которая записывается в виде [math](\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)[/math], такая, что для всякой пары [math](x_i , y_i)[/math] из [math]X\times Y[/math] выполняется равенство

[math](\alpha;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_d)(x_i , y_j) = (\alpha x_i,\beta_i y_j).[/math]

Композиция [math]C_3 [S_2 ] [/math] имеет степень [math]6[/math] и порядок [math]24[/math]. Любую подстановку из [math]C_3 [S_2 ] [/math] можно записать в таком виде, как она действует на множестве [math]X\times Y[/math]. Вводя опять обозначение [math]1a[/math] для упорядоченной пары [math](1,a)[/math] и используя фэрмулу выше можно представить подстановку [math]((123);(a)(b),(ab),(a)(b))[/math] в виде [math](1a\ 2a\ 3b\ 1b\ 2b\ 3a)[/math]. Заметим, что группа [math]S_2 [C_3 ] [/math] имеет порядок [math]18[/math] и поэтому не изоморфна группе [math]C_3 [S_2 ] [/math].

Степенная группа

(обозначается [math]B^A[/math]) действует на множестве [math]Y^X[/math] всех функций, отображающих [math]X[/math] в [math]Y[/math]. Будем всегда предполагать, что степенная группа действует на множестве, состоящем более чем из одной функции. Для каждой пары подстановок [math]\alpha[/math] из [math]A[/math] и [math]\beta[/math] из [math]B[/math] существует единственная подстановка из [math]B^A[/math] (записывается [math]\beta^\alpha[/math]), которая действует на любую функцию [math]f[/math] из [math]Y^X[/math] в соответствии со следующим соотношением, определяющим образ каждого элемента [math]x\in X[/math] при отображении [math]\beta^\alpha f[/math]:

[math](\beta^\alpha f)(x)=\beta f(\alpha x).[/math]

Степенная группа [math]S_{2}^{C_3}[/math] имеет порядок [math]6[/math] и степень [math]8[/math]. Применяя формулу выше, видим, что подстановка этой группы, полученная из подстановок [math]\alpha = (123)[/math] и [math]\beta = (ab)[/math], имеет один цикл длины [math]2[/math] и один цикл длины [math]6[/math].

См. также

• Группа
• Википедия — Автоморфизм_графа

Источники информации

• Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)