Формула Байеса

Определение:

Формула Байеса — одна из основных формул элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие, имея на руках лишь косвенные тому подтверждения, которые могут быть неточны.

Формулировка

[math]P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)}[/math],

где

[math]P(A)[/math] — вероятность события A;

[math]P(A|B)[/math] — вероятность события A при наступлении события B;

[math]P(B|A)[/math] — вероятность наступления события B при истинности события A;

[math]P(B)[/math] — вероятность наступления события B.

Доказательство

[math]P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}[/math]

[math]P(B \cap A)=P(A \cap B)=P(A|B)P(B)[/math]

[math]P(A)=\sum_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)[/math] (по формуле полной вероятности)

[math]\Rightarrow P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^N P(A|B_j)P(B_j)}[/math]

Пример

Пусть событие А истинно, если анализ на грипп положительный, событие B₁ отвечает за грипп, B₂ отвечает за другую болезнь. Также предположим, что:

[math]P(A|B_1)[/math]=0,9,

[math]P(A|B_2)[/math]=0,001,

[math]P(B_1)[/math]=0,01,

[math]P(B_2)[/math]=0,99.

Рассмотрим вероятность гриппа при положительном анализе:

[math]P(B_1|A)=\frac{P(B_1 \cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}=\frac{100}{111}[/math]

См. также

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Байеса