Изменения

При умножение слева элементарной матрицы <tex> {P}_{ij} </tex> перестановок на матрицу A происходит перестановка <tex> {i } </tex> - й и <tex> {j } </tex> - й строк матрицы A. Умножение справа элементарной матрицы перестановок <tex> {P}_{ij} </tex> на матрицу A приводит к перестановке <tex> {i } </tex> - го и <tex> {j } </tex> - го столбцов матрицы A.

<tex> {b}_{kl} = {( \ 0 \ ... \ 0 \ 1 \ 0 \ ... \ 0 \ )}

\end {pmatrix}= \begin {cases}{a}_{kl}, & k \ne i,j,\\{a}_{jl}, & k = i,\\{a}_{il}, & k = j.\end {cases} </tex> Действительно, по определению элементарной матрицы единица в строке стоит на <tex> {k} </tex> - м месте, если , <tex> {k \ne i,j} </tex>, на <tex> {j} </tex> - м месте, если <tex> {k = i} </tex>, и на <tex> {i} </tex> - м месте, если <tex> {k = j} </tex>. Итак, если <tex> {k \ne i,j} </tex>, то <tex> {k} </tex> - я строка матрицы B просто совпадает с <tex> {k} </tex> - й строкойматрицы A. Далее, <tex> {i} </tex> - я строка матрицы B совпадает с <tex> {j} </tex> - й строкой матрицы A, инаоборот. Поэтому B получается из A перестановкой <tex> {i} </tex> - й и <tex> {j} </tex> - й строк. Теперь рассмотрим умножение справа. Пусть <tex> {B} = {A}{P}_{ij} </tex>. <tex> {b}_{kl} = {(\ {a}_{k1}\ {a}_{k2}\ ...\ {a}_{kn}\ )}\begin {pmatrix} 0\\\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end {pmatrix} = \begin {cases}{a}_{kl}, & l \ne i,j,\\{a}_{kj}, & l = i,\\{a}_{ki}, & l = j.\end {cases} </tex> По определению элементарной матрицы единица в столбце стоит на <tex> {l} </tex> - м месте, если <tex> {l \ne i,j} </tex>, на <tex> {j} </tex> - м месте, если <tex> {l = i} </tex>, и на <tex> {i} </tex> - м месте, если <tex> {l = j} </tex>.Итак, если <tex> {l \ne i,j} </tex>, то <tex> {l} </tex> - й столбец матрицы B просто совпадает с <tex> {l} </tex> - м столбцомматрицы A. Далее, <tex> {i} </tex> - й столбец матрицы B совпадает с <tex> {j} </tex> - м столбцом матрицы A, инаоборот. Поэтому B получается из A перестановкой <tex> {i} </tex> - го и <tex> {j} </tex>- го столбцов.

Умножение справа матрицы перестановок на произвольной матрицы матрицу <tex>A</tex> на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.Умножение перестановочной слева матрицы перестановок на произвольную матрицу <tex>A</tex> меняет местами строки в <tex>A</tex>этой матрице.

возьмем <tex>i</tex> — - тую строчку матрицы <tex>A</tex> и умножим на <tex>j</tex> — - тый столбец <tex>P</tex>,так как <tex>j</tex> — - тый столбец матрицы <tex>P</tex> это двоичный вектор с одной единицей, то от <tex>i</tex> — - той строчки матрицы <tex>A</tex> выживет один элемент, причем на <tex>j</tex> — - том месте.Умножив <tex>i</tex> — - тую строчку матрицы <tex>A</tex>, на остальные столбцы матрицы <tex>P</tex>, получим, что в <tex>i</tex> — - той строке матрицы <tex>A</tex> элементы поменяются местами. Умножая другие строки матрицы <tex>A</tex>, будем наблюдать похожее (так как умножаем на те же самые столбцы матрицы <tex>P</tex>). Таким образом получим, что в матрице <tex>A</tex> столбцы поменялись местами.