NP-полнота задачи о сумме подмножества

Формулировка задачи

В задаче о сумме подмножества (Subset sum problem) входными данными являются набор из [math]n[/math] целых чисел [math]S[/math] и целое число [math]s[/math]. Требуется выяснить, возможно ли выбрать подмножество [math]S' \subseteq S[/math] с суммой [math]s[/math]:

[math]\exist S' \subseteq S: \sum_{s_{i} \in S'}{s_{i}} = s[/math]

Доказательство NP-полноты

Для доказательства того, что Subset sum problem [math]\in[/math] NPC, необходимо доказать два факта:

• Subset sum problem [math]\in[/math] NP
• Subset sum problem [math]\in[/math]NPH

Доказательство принадлежности к NP

В качестве сертификата возьмем удовлетворяющее условию задачи множество [math]S'[/math] с суммой [math]s[/math]. Очевидно, оно удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.

Доказательство принадлежности к NPH

Сведем 3-CNF_Sat к задаче о о сумме подмножества. Пусть задана 3-CNF формула [math]\phi[/math] от [math]n[/math] переменных [math]x_{i}[/math], состоящая из [math]k[/math] пар скобок [math]C_{i}[/math]. Будем считать, не умаляя общности, что ни одна пара скобок не содержит одновременно переменную и ее отрицание. Также предположим, что каждая переменная входит хотя бы в одну пару скобок. Построим сводящую функцию [math]f\!\!:(\{x_{i}\}^{n}_{i=1},\{C_{j}\}^{k}_{j=1}) \to (S,s)[/math] (эквивалентная запись: [math]f\!\!:\phi \to (S,s)[/math]).

Построение сводящей функции

Для каждой переменной [math]x_{i}[/math] и каждой пары скобок [math]C_{j}[/math] создадим по два числа в десятичной системе счисления, каждое длиной [math]n+k[/math] цифр. Эти числа образуют [math]S[/math]. Также создадим число [math]s[/math] длиной [math]n+k[/math] цифр. Присвоим каждому разряду полученных чисел (одинаковую для всех чисел) метку, соответствующую либо переменной, либо паре скобок. Метки, соответствующие парам скобок, присвоены [math]k[/math] младшим разрядам чисел.

• В числе [math]s[/math] все разряды, соответствующие переменным, установим [math]1[/math], а оставшиеся сделаем равными [math]4[/math].
• Каждой переменной [math]x_{i}[/math] соответствуют два числа из [math]S[/math]: [math]v_{i}[/math] и [math]u_{i}[/math]. Опишем создание этих чисел. Разряд, соответствующий [math]x_{i}[/math] установим равным [math]1[/math], а все остальные разряды, соответствующие переменным, установим равными [math]0[/math]. Далее, для числа [math]v_{i}[/math] установим все разряды, соответствующие парам скобок, содержащих [math]x_{i}[/math], равными [math]1[/math]. Во все остальные "скобочные" разряды поставим [math]0[/math]. В числе [math]w_{i}[/math] установим все разряды, соответствующие парам скобок, содержащих [math]\neg x_{i}[/math], равными [math]1[/math], а во все остальные "скобочные" разряды поставим [math]0[/math].
• Каждой паре скобок [math]C_{j}[/math] соответствуют два числа из [math]S[/math]: [math]d_{i}[/math] и [math]e_{i}[/math]. Оба этих числа содержат [math]0[/math] во всех разрядах, кроме соответствующего [math]C_{j}[/math]. В этом разряде у [math]d_{i}[/math] поставим [math]1[/math], а у [math]e_{i}[/math] поставим [math]2[/math].

Корректность сводящей функции

• Получаемое сводящей функцией множество [math]S[/math] состоит из [math]2(n+k)[/math] десятичных чисел длиной [math](n+k)[/math] каждое, выставление каждого разряда занимает полиномиальное время. Таким образом, сведение выполняется за полиномиальное время.
• Пусть формула [math]\phi[/math] выполнима, то есть существует набор значений [math]\{y_{i}\}^{n}_{i=1}:~\phi(y_{1}\ldots y_{n})=1 [/math]. И пусть [math](S,s) = f(\phi)[/math]. Тогда в полученном множестве [math]S[/math] существует подмножество с суммой [math]s[/math]. Действительно, для каждой переменной, если [math]y_{k} = 1[/math], то добавим в [math]S'~ v_{i}[/math]. Иначе добавим [math]w_{i}[/math]. Теперь [math]S'[/math] содержит уже [math]n[/math] чисел. Заметим, что для каждого "скобочного"разряда в уже набранной части [math]S'[/math] есть не менее одного и не более трех чисел, у которых в данном разряде стоит [math]1[/math]. Значит для каждого соответствующего паре скобок [math]C_{j}[/math] разряда мы сможем выбрать одно или оба числа [math]d_{j}[/math] и [math]e_{j}[/math] так, чтобы сумма в данном разряде совпадала с требуемой (стала равна [math]4[/math]). Добавим их в [math]S'[/math]. Также заметим, что суммы во всех "переменных" разрядах равны [math]1[/math], так как для каждого [math]i[/math] выбиралось строго одно число из [math]v_{i}[/math] и [math]u_{i}[/math]. Значит, [math] \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s[/math].
• Пусть теперь в наборе [math]S[/math] есть подмножество [math]S':~ \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s[/math]. Тогда исходная формула [math]\phi[/math] выполнима. Действительно, если [math]v_{i} \in S'[/math], то установим переменную [math]x_{i}=1[/math]. Если же [math]w_{i} \in S'[/math], то [math]x_{i}=0[/math]. Покажем, что [math]\phi(x_{1}\ldots x_{n}) = 1 [/math]. Действительно, так как [math] \sum_{s_{k} \in S'}{s_{k}} = s[/math], в каждой паре скобок хотя бы один терм равен [math]1[/math]. Значит каждый терм равен [math]1[/math]. А тогда и вся [math]\phi = 1[/math].

Пример сведения

Пусть исходная функция [math]\phi(x_{1} \ldots x_{4}) = (x_{1} \or x_{2} \or \neg x_{3}) \and (\neg x_{1} \or x_{2} \or x_{4})[/math]. Пометим разряды следующим образом (слева направо): [math]x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},C_{1},C_{2}[/math]. Тогда:

• [math]v_{1} = 100010[/math]
• [math]w_{1} = 100001[/math]

• [math]v_{2} = 010011 = 10011[/math]
• [math]w_{2} = 010000 = 10000[/math]

• [math]v_{3} = 001000 = 1000[/math]
• [math]w_{3} = 001010 = 1010[/math]

• [math]v_{4} = 000101 = 101[/math]
• [math]w_{4} = 000100 = 100[/math]

• [math]d_{1} = 000010 = 10[/math]
• [math]e_{1} = 000020 = 20[/math]

• [math]d_{2} = 000001 = 1[/math]
• [math]e_{2} = 000002 = 2[/math]

• [math]s = 111144[/math]

[math]S = (\cup_{i=1 \ldots 4} v_{i}) \cup (\cup_{i=1 \ldots 4} w_{i}) \cup (\cup_{i=1 \ldots 2} d_{i}) \cup (\cup_{i=1 \ldots 2} e_{i})[/math]

Тогда набору значений [math]Y = (0,0,0,1):~ \phi(Y) = 1[/math] соответствует [math]S' = \{w_{1},~w_{2},~w_{3},~v_{4},~d_{1},~e_{1},~e_{2}\}[/math]. И действительно, [math]100001 + 10000 + 1010 + 101 + 10 + 20 + 2 = 111144[/math].