Арифметические действия с формальными степенными рядами

Простейшие операции

Рассмотрим два формальных степенных ряда [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] и [math]B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots[/math].

Определение:

Суммой (англ. addition) формальных степенных рядов [math]A[/math] и [math]B[/math] называется ряд [math]A(s) + B(s) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) s + (a_2 + b_2) s^2 + \dots[/math].

Определение:

Произведением (англ. multiplication) формальных степенных рядов [math]A[/math] и [math]B[/math] называется ряд [math]A(s)B(s) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) s + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) s^2 + \dots[/math].

Операции сложения и умножения формальных степенных рядов коммутативны и ассоциативны.

Деление

Лемма (деление формальных степенных рядов):

Пусть [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \dots [/math] — формальный степенной ряд, причем [math]A(0) \ne 0[/math]. Тогда существует единственный формальный степенной ряд [math]B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + b_3 s^3 + \dots [/math], такой что [math]A(s)B(s) = 1[/math], то есть [math]B(s) = A^{-1}(s)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Распишем [math]A(s)B(s)[/math] по формуле произведения рядов: [math]A(s)B(s) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0)s + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) s^2 + \dots[/math]. Заметим, что условие [math]A(s)B(s) = 1[/math] выполнено только в том случае, если [math]a_0 b_0 = 1[/math], а все остальные слагаемые полученного ряда равны нулю. Докажем по индукции, что такой ряд [math]B[/math] единственен. Нам известно, что [math]b_0 = \dfrac{1}{a_0}[/math]. Пусть теперь все коэффициенты ряда [math]B[/math] вплоть до степени [math]n - 1[/math] однозначно определены. Коэффициент при [math]s^n[/math] определяется из условия [math]a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \dots + a_n b_0 = 0[/math]. Это линейное уравнение на [math]b_n[/math], причем коэффициент [math]a_0[/math] при [math]b_n[/math] отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

1. [math]A(s) = 1 + s[/math]

   [math]b_0 = \dfrac{1}{a_0} = \dfrac{1}{1} = 1[/math]

   [math]b_1 = - \dfrac{a_1}{a_0^2} = - \dfrac{1}{1^2} = -1[/math]

   [math]b_2 = - \dfrac{a_1 b_1}{a_0} = - \dfrac{1 \cdot (-1)}{1} = 1[/math]

   [math]\dots[/math]

   [math]b_n = - \dfrac{a_1 b_{n - 1}}{a_0} = -b_{n - 1}[/math]

   [math]B(s) = 1 - s + s^2 - s^3 + \dots[/math]

2. [math]A(s) = 1 - s - s^2[/math]

   [math]b_0 = \dfrac{1}{a_0} = \dfrac{1}{1} = 1[/math]

   [math]b_1 = - \dfrac{a_1}{a_0^2} = - \dfrac{-1}{1^2} = 1[/math]

   [math]b_2 = - \dfrac{a_1 b_1 + a_2 b_0}{a_0} = - \dfrac{(-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1}{1} = 2[/math]

   [math]b_3 = - \dfrac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{a_0} = - \dfrac{(-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 1}{1} = 3[/math]

   [math]\dots[/math]

   [math]b_n = - \dfrac{a_1 b_{n - 1} + a_2 b_{n - 2}}{a_0} = b_{n - 1} + b_{n - 2}[/math]

   [math]B(s) = 1 + s + 2 s^2 + 3 s^3 + \dots[/math]

Композиция

Пусть [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] и [math]B(s) = b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \dots[/math] — два формальных степенных ряда, причем [math]B(0) = b_0 = 0[/math].

Определение:

Композицией (подстановкой) (англ. composition) формальных степенных рядов [math]A[/math] и [math]B[/math] называется ряд [math]A(B(t)) = a_0 + a_1 b_1 t + (a_1 b_2 + a_2 b_1^2) t^2 + (a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2 + a_3 b_1^3) t^3 + \dots[/math].

Если, например, [math]B(t) = -t[/math], то [math]A(B(t)) = A(-t) = a_0 -a_1 t + a_2 t^2 - a_3 t^3 + \dots[/math].

Операция подстановки в случае, когда [math]B(0) \ne 0[/math], не определена. (При попытке подставить такой ряд для вычисления коэффициентов результата возникает необходимость суммирования бесконечных числовых рядов).

Обратная

Теорема (об обратном формальном степенном ряде):

Пусть ряд [math]B(t) = b_0 + b_1 t + b_2 t^2 + b_3 t^3 + \dots[/math] таков, что [math]B(0) = b_0 = 0[/math], а [math]b_1 \ne 0[/math]. Тогда существуют такие ряды [math] A(s) = a_1 s + a_2 s^2 + a_3 s^3 + \dots[/math], [math]A(0) = 0[/math] и [math]C(u) = c_1 u + c_2 u^2 + c_3 u^3 + \dots[/math], [math]C(0) = 0[/math], что [math]A(B(t)) = t[/math] и [math]B(C(u)) = u[/math]. При этом, ряды [math]A[/math] и [math]C[/math] единственны. Производящие функции, соответствующие рядам [math]A[/math] и [math]C[/math], называются соответственно левой и правой обратной (англ. left (right) inverse) к производящей функции, соответствующей ряду [math]B[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции существование и единственность левой обратной функции. Доказательство для правой обратной аналогично. Будем определять коэффициенты ряда [math]A[/math] последовательно. Поскольку [math]A(B(t)) = t[/math], [math]a_1 b_1 = 1[/math], откуда [math]a_1 = \dfrac{1}{b_1}[/math]. Все остальные коэффициенты результирующего ряда при этом равны нулю. Предположим теперь, что коэффициенты [math]a_1, a_2, \dots, a_n[/math] уже определены. Коэффициент [math]a_{n+1}[/math] определяется из условия [math]a_{n+1} b_1^{n+1} + \dots = 0[/math], где точками обозначен некоторый многочлен от [math]a_1, \dots, a_n[/math] и [math]b_1, \dots, b_n[/math]. Тем самым, условие представляет собой линейное уравнение на [math]a_{n+1}[/math], причем коэффициент [math]b_1^{n+1}[/math] при [math]a_{n+1}[/math] отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение, и теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Пример

[math]B(s) = s + s^2[/math]

[math]a_0 = 0[/math]

[math]a_1 = \dfrac{1}{b_1} = 1[/math]

[math]a_1 b_2 + a_2 b_1^2 = 0 \Rightarrow a_2 = - \dfrac{a_1 b_2}{b_1^2} = - \dfrac{1 \cdot 1}{1^2} = -1[/math]

[math]a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2 + a_3 b_1^3 = 0 \Rightarrow a_3 = - \dfrac{a_1 b_3 + 2 a_2 b_1 b_2}{b_1^3} = - \dfrac{1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \cdot 1}{1^3} = 2[/math]

[math]\dots[/math]

[math]A(s) = s - s^2 + 2 s^3 + \dots[/math]

См. также

• Производящая функция
• Производящие функции нескольких переменных

Источники информации

• Ландо С. К., Лекции о производящих функциях. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2007. — 144с. ISBN 978-5-94057-042-4