Некоторые геометрические приложения интеграла

Эта статья находится в разработке!

Длина дуги

Определение:

Дуга — множество точек [math](x; y)[/math] таких, что [math]\begin{cases}x = \varphi(t) \\y = \psi(t) \\t \in [a; b]\end{cases}[/math]

Для того, чтобы не получался патологический объект, сильно отличающийся от понятия дуги, продиктованного здравым смыслом, на [math]\varphi(t)[/math] и [math]\psi(t)[/math] накладываются следующие ограничение: «[math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math] непрерывны». Но даже в этом случае может получиться полная хрень. Например, Пеано была построена дуга, проходящая через каждую точку квадрата.

Поэтому, на [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math] накладывается ещё больше ограничений:

• у дуги нет самопересечений
• [math]\varphi[/math], [math]\psi[/math] — непрерывно дифференцируемы
• у кривой нет угловых точек ([math](\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2 \gt 0[/math])

Поэтому, на все тонкости можно не обращать внимания, и считать, что всё хорошо.

Определение:

Далее, лишь для удобства при написании, [math]\dot\varphi[/math] — то же самое, что [math]\varphi'[/math]

Утверждение:

Пусть дуга задана точками [math]P(\varphi(t), \psi(t))[/math], [math]t \in [a; b][/math]. Тогда [math]L(P) = \int\limits_a^b \sqrt{\dot\varphi^2(t) + \dot\psi^2(t)} dt[/math]

[math]\triangleright[/math]

Возьмём разбиение [math]\tau \colon a \leq t_0 \lt t_1 \lt \ldots \lt t_n \leq b[/math]. [math]\Delta x_k= \varphi(t_{k + 1}) - \varphi(t_k)[/math] [math]\Delta y_k = \psi(t_{k + 1} - \psi(t_k))[/math]. Рассмотрим отрезок [math]P_kP_{k+1}[/math]. Он является хордой дуги и его длина равна [math]\sqrt{\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2}[/math]. Определение: Ломаная [math]P_0 P_1 \ldots P_n[/math] — вписанная в дугу. Сложив длины этих отрезков, получаем длину ломаной, состоящей их них. [math]|\Gamma| = |P_0 P_1 \ldots P_n| = l(\tau)[/math]. Определение: [math]l(\Gamma) = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)[/math] Определение: Если [math]\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} l(\tau)[/math] — конечен, то дуга называется спрямляемой. Докажем в заданных ограничениях, что дуга всегда спрямляемая. TODO: Понимание, вернись!

[math]\triangleleft[/math]

Площадь фигур

Общий принцип

В этой части будет указан общий приём для получения площадей и объёмов фигур через интеграл. Площадь и объём фигур определяются наиболее логичным образом, с точки зрения практического смысла.

Определение:

Фигура квадрируема — у неё есть площадь.

Получение формулы основано на так называемом «принципе исчерпывания древних». TODO: Точно так?

Пусть есть фигура [math]A[/math], необходимо найти её площадь [math]|A|[/math]. Пусть имеются два класса фигур [math]B[/math] и [math]C[/math]. У каждой из фигур, принадлежащих [math]B[/math] и [math]C[/math] существует площадь, и, при этом, они таковы, что [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists b_\varepsilon \in B \ \exists c_\varepsilon \in C: \ b_\varepsilon \subset A \subset c_\varepsilon, \ |c_\varepsilon - b_\varepsilon| \lt \varepsilon[/math].

Тогда этот принцип утверждает, что фигура квадрируема и её площадь [math]S = \sup\limits_{\varepsilon \gt 0} |b_\varepsilon| = \inf\limits_{\varepsilon \gt 0} c_\varepsilon[/math]

Площадь под графиком

Рассмотрим классическую ситуацию — площадь фигуры под графиком функции:

Пусть на [math][a; b][/math] есть [math]y = f(x) \geq 0[/math], тогда обозначим за [math]G_f = \{(x, y) \colon x \in [a; b], 0 \leq y \leq f(x) \}[/math].

[math]G_f[/math] называют также криволинейной трапецией.

Утверждение:

[math]S(G_f) = \int\limits_a^b f(x)dx[/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим разбиение [math]\tau \colon a \leq x_0 \lt \ldots \lt x_n \leq b[/math]. Обозначим [math]m_k = \inf\limits_{x \in [x_k; x_{k + 1}]} f(x)[/math], [math]M_k = \sup\limits_{x \in [x_k; x_{k + 1}]}[/math]. Также рассмотрим прямоугольники [math]\Pi'_k = [/math] прямоугольник ([math][x_k; x_{k + 1}] \times [0; m_k][/math]) [math]\Pi''_k = [/math] прямоугольник ([math][x_k; x_{k + 1}] \times [0; M_k][/math]) Тогда можно рассматривать площади ступенчатых фигур [math]\Pi'(\tau) = \bigcup \Pi'(k)[/math], [math]\Pi''(\tau) = \bigcup \Pi''(k)[/math] Тогда, очевидно, [math]\Pi'(\tau) \leq G_f \leq \Pi''(\tau)[/math] [math]\Pi'(\tau)[/math] и [math]\Pi''(\tau)[/math] являются суммами Дарбу: [math]|\Pi'(\tau)| = \underline{s}(\tau)[/math], [math]|\Pi''(\tau)| = \overline{s}(\tau)[/math] По принципу исчерпания, фигура квадрируема, [math]|G_f| = \sup \underline{s}(\tau) = \int\limits_a^b f(x dx)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Ещё несколько примеров

Рассмотрим ещё несколько примеров:

• [math]S[/math] криволинейного сектора
• [math]V[/math] фигуры вращения
• [math]V[/math] через площади поперечных сечений

При выводе этих трёх формул детали опустим, потому что они были рассказаны выше. Для каждого примера укажем два класса фигур, на базе которых получается формула по принципу исчерпывания.

Полярный сектор

Рассмотрим полярные координаты [math]\begin{cases}x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \\ \end{cases}[/math] где [math]r = f(\varphi)[/math], [math]\varphi \in [\alpha; \beta][/math].

Определение:

Фигура вида [math]\{(x, y) \colon \varphi \in [\alpha; \beta], r \in [0; f(\varphi)]\}[/math] — криволинейный сектор.

Утверждение:

[math]S = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta f^2(\phi) d\varphi[/math]

[math]\triangleright[/math]

Будем искать площадь на основе обычных секторов круга. Площадь сектора [math]S = \frac12 r^2 \alpha[/math]. Создадим [math]\tau[/math] — разбиение отрезка [math][a; b][/math]. Определим [math]m_k = \inf\limits_{\varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}]} f(\varphi)[/math], [math]M_k = \sup\limits_{\varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}]} f(\varphi)[/math]. [math]\Pi'_k = \{(\varphi, r) \colon \varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}, r \in [0; m_r]] \}[/math] [math]\Pi''_k = \{(\varphi, r) \colon \varphi \in [\varphi_k; \varphi_{k + 1}, r \in [0; M_r]] \}[/math] [math]\Pi'(\tau) \subset A \subset \Pi''(\tau)[/math] [math]|\Pi'(\tau)| = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \frac12 m_k^2 \Delta \varphi_k[/math] [math]S = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta f^2(\phi) d\varphi = \frac12 \int\limits_\alpha^\beta r^2 d\varphi[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Фигура вращения

Найдём объём фигуры вращения. [math]y = f(x)[/math], [math]x \in [a; b][/math], [math]y[/math] — непрерывна.

Крутим это по оси [math]x[/math], получаем «бочку». Нужно найти её объём.

Утверждение:

[math]V = \pi\int\limits_a^b f^2(x)dx[/math]

[math]\triangleright[/math]

Построение аналогично. За базу берётся цилиндр высоты [math]h[/math] и радиуса [math]r[/math]. Его объём равен [math]\pi r^2 h[/math]. [math]\Pi'_k = \Delta x_k m_k^2 \pi[/math] [math]\Pi''_k = \Delta x_k M_k^2 \pi[/math] Фигура зажимается, объём равен интегралу [math]\pi\int\limits_a^b f^2(x)dx[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Формула Ковальери

Пусть дана некоторая фигура в [math]\mathbb{R}^3[/math]. При взятии её сечений по оси [math]x[/math] получаем плоские фигуры.

Пусть мы умее считать площади сечений. Тогда абсолютно аналогично доказывается, что [math]V = \int\limits_a^b S(x) dx[/math].