'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]]. Обозначается <tex>D \xi</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{Var}\,(\xi)</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
== Определение ==
{{Определение
|id = def1
|definition =
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] <tex>\xi</tex>, определенной на некотором [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]], называется число: <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где символ <tex>E</tex> обозначает [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]].}}
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].
Пусть <tex>\displaystyle \xi</tex> — [[случайная величина]], определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. ТогдаОно используется для оценки масштаба возможного : <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex> где символ <tex>E</tex> обозначает [[Математическое ожидание отклонения случайной величины|математическое ожидание]]от ее математического ожидания.
== Замечания ==
* В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула:
*: <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]];
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D\xi=0,</tex> то <tex>\xi =E\xi</tex> почти всюду;
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> - константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi;</tex>
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> - константа.
== Пример ==
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
* В силу линейности [[Математическое Найдем математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] справедлива формула:*: <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2;</tex>и дисперсию числа очков, выпавших на кубике с первого броска.
<tex> \xi(i) == Свойства ==i </tex>
* Дисперсия любой [[случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0;</tex>* Если дисперсия [[случайная величина|случайной величины]] конечна, то конечно и её Вычислим математическое ожидание;* Если [[случайная величина]] равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D\xi=0,</tex> то <tex>\xi =E\xi</tex> почти всюду;* Дисперсия суммы двух [[случайная величина|случайных величин]] равна:*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(sum \xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psiomega)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];* <tex>D p(a\xiomega) = a^2D1\xi;<cdot 1/tex>* <tex>D(-\xi) = D6+2\xi;<cdot 1/tex>* <tex>D(6 \xidots +b) 6\cdot 1/6 = D\xi3.5</tex>
Вычислим дисперсию: <tex>D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot 1/6+4\cdot 1/6 \dots +36\cdot 1/6 - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>
== Источники ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия]
*Дискретный анализ, Романовский И. В.
