Задача о динамической связности — различия между версиями
(→Обобщение задачи для произвольных графов) |
(→Обобщение задачи для произвольных графов) |
||
| Строка 11: | Строка 11: | ||
== Обобщение задачи для произвольных графов == | == Обобщение задачи для произвольных графов == | ||
| − | Существуют задачи, в которых граф не обязательно на протяжении нашей работы после каждой операции добавления ребра остаётся лесом. | + | Существуют задачи, в которых граф не обязательно на протяжении нашей работы после каждой операции добавления ребра остаётся лесом. Добавление рёбер можно рассмотреть с точки зрения системы непересекающихся множеств, такой запрос будет работать за <tex>O(\mathrm{\log}n)</tex>. |
| + | |||
| + | Попробуем выполнить операцию удаления ребра. Для этого в каждой компоненте связности выделим [[Остовные деревья: определения, лемма о безопасном ребре|остовные деревья]], которые образуют остовный лес. Граф и его остовный лес {{---}} одно и то же с точки зрения связности. | ||
[[Файл:Graph.jpg|550px|thumb|left|Произвольный граф]] [[Файл:Spanforest.jpg|550px|thumb|right|Остовный лес в графе]] | [[Файл:Graph.jpg|550px|thumb|left|Произвольный граф]] [[Файл:Spanforest.jpg|550px|thumb|right|Остовный лес в графе]] | ||
| Строка 33: | Строка 35: | ||
Введём функцию <tex>l(e):e{\rightarrow}[0;\mathrm{\log} n]</tex> и назовём её ''уровнем ребра'' <tex>e</tex>. Будем рассматривать графы <tex>G_i=\langle V, E\rangle: {E|l(E) \geqslant i}</tex>. Очевидно, что <tex>G_{\mathrm{\log}n} \subseteq G_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq G_1 \subseteq G_0</tex>. Выделим в них остовные леса таким образом, чтобы <tex>F_{\mathrm{\log}n} \subseteq F_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq F_1 \subseteq F_0</tex>, где <tex>F_i</tex> {{---}} остовный лес графа <tex>G_i</tex>. | Введём функцию <tex>l(e):e{\rightarrow}[0;\mathrm{\log} n]</tex> и назовём её ''уровнем ребра'' <tex>e</tex>. Будем рассматривать графы <tex>G_i=\langle V, E\rangle: {E|l(E) \geqslant i}</tex>. Очевидно, что <tex>G_{\mathrm{\log}n} \subseteq G_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq G_1 \subseteq G_0</tex>. Выделим в них остовные леса таким образом, чтобы <tex>F_{\mathrm{\log}n} \subseteq F_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq F_1 \subseteq F_0</tex>, где <tex>F_i</tex> {{---}} остовный лес графа <tex>G_i</tex>. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<!--При выполнении операции add что-то хорошее, а с удалением не всё так просто.--> | <!--При выполнении операции add что-то хорошее, а с удалением не всё так просто.--> | ||
<!-- === Псевдокод === xz --> | <!-- === Псевдокод === xz --> | ||
Версия 00:08, 8 января 2018
| Задача: |
Есть неориентированный граф из вершин, изначально не содержащий рёбер. Требуется обработать запросов трёх типов:
|
В этой статье будет приведено решение задачи online, то есть отвечать на get-запрос (проверять наличие пути между вершинами) мы будем сразу.
Содержание
Динамическая связность в лесах
Если задача такова, что в графе нет и не может быть циклов, то она сводится к задаче о связности в деревьях эйлерова обхода. Время работы каждого запроса для упрощённой задачи — .
Обобщение задачи для произвольных графов
Существуют задачи, в которых граф не обязательно на протяжении нашей работы после каждой операции добавления ребра остаётся лесом. Добавление рёбер можно рассмотреть с точки зрения системы непересекающихся множеств, такой запрос будет работать за .
Попробуем выполнить операцию удаления ребра. Для этого в каждой компоненте связности выделим остовные деревья, которые образуют остовный лес. Граф и его остовный лес — одно и то же с точки зрения связности.
Введём функцию и назовём её уровнем ребра . Будем рассматривать графы . Очевидно, что . Выделим в них остовные леса таким образом, чтобы , где — остовный лес графа .
