Список заданий по ДМ 2018 весна

1. Чему равна вероятность, что две случайно вытянутые кости домино можно приложить друг к другу по правилам домино?
2. Чему равна вероятность, что на двух брошенных честных игральных костях выпадут числа, одно из которых делит другое?
3. Чему равна вероятность, что если вытянуть из 52-карточной колоды две случайные карты, одной из них можно побить другую (одна из мастей назначена козырем, картой можно побить другую, если они одинаковой масти или если одна из них козырь)?
4. Чему равна вероятность, что на двадцати брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц?
5. Петя и Вася три раза бросают по одной честной игровой кости. Вася два раза выкинул строго больше, чем Петя, а один раз строго меньше. При этом Петя в сумме выкинул строго больше, чем Вася. С какой вероятностью такое могло произойти?
6. Приведите пример трех событий, для которых $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$, но которые не являются независимыми, причем вероятности всех трех событий больше 0
7. Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(C) > 0$ выполнено $P(A \cap B|C) = P(A|C)P(B|C)$
8. Доказать или опровергнуть, что для независимых событий $A$ и $B$ и события $C$, где $P(A) > 0$, $P(B) > 0$ выполнено $P(C|A \cap B) = P(C|A)P(C|B)$
9. Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $P(A) = P(B)$
10. Доказать или опровергнуть: если $P(A|B) = P(B|A)$, то $A$ и $B$ независимы
11. Доказать или опровергнуть: если $P(A|C) = P(B|C)$, то $P(C|A) = P(C|B)$
12. Доказать или опровергнуть: если $A$ и $B$ независимы, то $\Omega \setminus A$ и $\Omega \setminus B$ независимы
13. Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч интересным, если перед его просмотром он не знает, кто выиграет финал. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 4 интересных матча?
14. Петя собирается смотреть серию матчей финала Флатландской хоккейной лиги. В финале две команды играют до 5 побед, ничьих не бывает, таким образом максимум в финале будет не более 9 матчей. Вася рассказал Пете, что всего в финале было 7 матчей. Петя считает матч зрелищным, если перед его просмотром он не знает, кто его выиграет. Пусть все возможные последовательности исходов матчей, удовлетворяющих описанным условиями, равновероятны. Какова вероятность, что будет хотя бы 5 зрелищных матчей?
15. Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
16. Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
17. Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц.
18. Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
19. Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
20. Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
21. Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
22. Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
23. Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
24. Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
25. Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
26. Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$?
27. Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
28. Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
29. Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
30. Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
31. Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
32. Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
33. Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
34. Докажите, что вероятность того, что значения на двух нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
35. Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
36. Перемножим счетное число вероятностных пространств, соответствующих честным монетам. Что получится? Как бы вы ввели на результате вероятностную меру?