Дискретная случайная величина

Определение:

Случайная величина (англ. random variable) — отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}[/math]

Дискретная случайная величина

Определение:

Дискретной случайной величиной (англ. discrete random variable) называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.

Примеры

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
3. Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\{1,2,3,4,5,6\}[/math]

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:

Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi \lt x)[/math], т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение, меньшее чем [math]x[/math]

Если случайная величина [math]\xi[/math] дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией [math]\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots[/math]

Функция распределения [math]F(x)[/math] этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как [math]F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i[/math].

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

• [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]

• [math]F(x)[/math] непрерывна во всех точках [math]x\in \mathbb{R}[/math], таких что [math]\forall i ~ x \ne x_i [/math], и имеет разрыв первого рода в точках, таких что [math]\forall i ~ x = x_i[/math].

• [math]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1[/math].

Примеры

1. Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть [math]n[/math] выстрелов, вероятность попадания равна [math]p[/math]. Необходимо найти [math]F(k)[/math]. Для [math]k \leqslant 0 ~ F(k) = 0[/math], так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для [math]k \gt 0 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 0}^{\lceil k \rceil - 1}\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{\lceil k \rceil - i}[/math]
2. Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла — [math]p[/math].
3. Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел [math]1 \ldots 6[/math] соответственно равны [math]p_{1} \ldots p_{6}[/math]. Для [math]k \leqslant 1 ~ F(k) = 0[/math], так как не может выпасть цифра меньше [math]1[/math]. Для [math]k \gt 1 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{\lceil k \rceil - 1}p_{i}[/math]

Функция плотности распределения вероятностей

Определение:

Функция плотности распределения вероятносткй (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как первая производная функции распределения. [math]f(x) = F'(x)[/math]

Свойства функции плотности вероятности:

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

[math]\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1[/math].

• Плотность вероятности определена почти всюду.

Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.

Для дискретной случайной величины не существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

См. также

• Математическое ожидание случайной величины

Источники информации

• КГУ — Определение дискретной случайной величины
• Википедия — Дискретная случайная величина
• Википедия — Плотность вероятности