Построение компонент вершинной двусвязности

Двупроходный алгоритм

Найти компоненты вершинной двусвязности неориентированного графа можно с помощью обхода в глубину.

Первый проход: ищем точки сочленения с помощью обхода в глубину, заполняем массивы [math]tin[/math] и [math]up[/math].

Второй проход: точка сочленения принадлежит как минимум двум компонентам вершинной двусвязности. Вершина [math] v \ne root [/math] является точкой сочленения, если у нее есть сын [math] u[/math], такой что [math] up[u] \geqslant tin[v] [/math].
Это также значит, что ребро [math] vu [/math] содержится в другой компоненте вершинной двусвязности, нежели ребро по которому мы пришли в вершину [math] v [/math] , используя поиск в глубину. Получается, что перейдя по этому ребру, мы окажемся в другой компоненте вершинной двусвязности.
Используем это свойство, чтобы окрасить компоненты вершинной двусвязности в различные цвета.

Псевдокод второго прохода

• Во время первого запуска [math]dfs[/math] будут заполняться массивы [math]tin[/math] и [math]up[/math], поэтому при запуске функции [math]paint[/math] мы считаем, что они уже посчитаны.
• [math]\mathtt{maxColor}[/math] изначально равен [math]0[/math], что эквивалентно тому, что никакое ребро не окрашено.
• [math]\mathtt{color}[/math] хранит в себе цвет, компоненты, из которой вызвалась функция [math]\mathrm{paint}[/math] для текущей вершины.
• [math]\mathtt{parent}[/math] — это вершина, из которой мы попали в текущую.

function paint([math]v[/math], color, parent):
  visited[v] = true
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math]u[/math] == parent
      continue
    if not visited[[math]u[/math]]
      if up[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
        newColor = ++maxColor
        col[[math]vu[/math]] = newColor
        paint([math]u[/math], newColor, [math]v[/math])
      else
        col[[math]vu[/math]] = color
        paint([math]u[/math], color, [math]v[/math])
    else if tin[[math]u[/math]] [math]\lt [/math] tin[[math]v[/math]]
      col[[math]vu[/math]] = color

function solve():
  for [math] v \in V[/math]:
    dfs([math]v[/math])    
  for [math] v \in V[/math]:
    if not visited[[math]v[/math]]
      maxColor++
      paint([math]v[/math], maxColor, -1)

Ребра каждой из компонент вершинной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
В алгоритме выполняется два прохода [math]dfs[/math], каждый из которых работает [math]O(|V| + |E|)[/math]. Значит время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|)[/math].

Однопроходный алгоритм

Заведем стек, в который будем записывать все дуги в порядке их обработки. Если обнаружена точка сочленения, дуги очередного блока окажутся в этом стеке, начиная с дуги дерева обхода, которая привела в этот блок, до верхушки стека.
Таким образом, каждый раз находя компоненту вершинной двусвязности мы сможем покрасить все ребра, содержащиеся в ней, в новый цвет.

Доказательство корректности алгоритма

Предположим, что граф содержит точку сочленения [math] i' \in V [/math] , за которой следует один или несколько блоков. Вершины из этих блоков образуют подмножество [math] V' \subset V [/math]. В таком случае:

1. Все вершины [math] V' [/math] являются потомками [math] i' [/math] в дереве обхода;
2. Все вершины [math] V' [/math] будут пройдены в течение периода серого состояния [math] i' [/math];
3. В [math] G [/math] не может быть обратных дуг из [math] V' [/math] в [math] V \setminus V' [/math].
   

Значит все дуги [math] V' [/math] будут будут добавлены в стек после дуги ведущей из точки сочленения в блок. В стеке в момент обнаружения точки сочленения будут находиться только дуги блока, связанного с ней, т.к. блоки найденные до него (если таковые имеются) будет уже извлечены из стека и покрашены в свой цвет.

Псевдокод

function paint([math]v[/math], parent):
  tin[[math]v[/math]] = up[[math]v[/math]] = time++
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math]u[/math] == parent 
      continue
    if not visited[[math]u[/math]]
      stack.push([math]vu[/math])
      paint([math]u, v[/math])
      if up[[math]u[/math]] [math]\geqslant[/math] tin[[math]v[/math]]
        color = maxColor++
        while stack.top() != ([math]vu[/math])
          colors[stack.top()] = color
          stack.pop()
        colors[[math]vu[/math]] = color
        stack.pop()
      if up[[math]u[/math]] < up[[math]v[/math]]
        up[[math]v[/math]] = up[[math]u[/math]]
    else if tin[[math]u[/math]] < tin[[math]v[/math]] 
      stack.push([math]vu[/math])
    else if up[[math]v[/math]] > tin[[math]u[/math]]
      up[[math]v[/math]] = up[[math]u[/math]]

function solve():
  for [math] v \in V[/math]:
    dfs([math]v[/math])
  for [math] v \in V[/math]:
    if not visited[[math]v[/math]]:
      time = 0
      maxColor++
      paint([math]v[/math], -1)

Во время алгоритма совершается один проход [math]dfs[/math], который работает за [math]O(|V| + |E|)[/math]. Внутри него совершается еще цикл, который суммарно выполняет [math]O(|E|)[/math] операций, т.к. каждое ребро может быть добавлено в стек только один раз. Следовательно, общее время работы алгоритма [math]O(|V| + |E|) + O(|E|) = O(|V| + |E|)[/math]

См. также

• Использование обхода в глубину для поиска точек сочленения
• Построение компонент реберной двусвязности

Источники информации

• В.А.Кузнецов, А.М.Караваев. "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
• Дискретная математика: Алгоритмы — Компоненты двусвязности, мосты и точки сочленения