Производящая функция Дирихле

Определение:

Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности [math]\{a_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] — это формальный ряд вида: [math]A(s)= \dfrac{a_1}{1^s} + \dfrac{a_2}{2^s} + \dfrac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^s}[/math],

Примечание

• Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
• Вместо переменной [math]x[/math] используется [math]s[/math]. Это изменение связано больше с традициями, чем с математикой.
• Принято писать [math] \dfrac{a_n}{n^s} [/math] вместо [math] {a_n}{n^{-s}} [/math]. Это считается более удобной формой.

Операции над производящими функциями Дирихле

Сложение

Сложение производящих функций соответствует обычному почленному сложению последовательностей.

Умножение

Если [math]A(s)[/math] и [math]B(s)[/math] — производящие функции Дирихле двух последовательностей [math]\{a_n\}_{n=1}^\infty[/math] и [math]\{b_n\}_{n=1}^\infty[/math] соответственно, то [math]A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \dfrac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}[/math], где внутреннее суммирование ведётся по всем разложениям числа [math]n[/math] в произведение двух сомножителей.

Единица

Роль единицы при умножении производящих функций Дирихле играет функция [math]1 = 1 ^ {-s}[/math].

Обратимость

Любая производящая функция Дирихле [math]A(s)[/math] с ненулевым свободным членом ([math]a_1 \neq 0[/math]), обратима, то есть для неё существует функция [math]B(s)[/math], такая что [math]A(s)B(s) = 1[/math].

Действительно, по правилу перемножения функций имеем [math]A(s)B(s) = \dfrac{a_1b_1}{1^s} + \dfrac{a_1b_2 + a_2b_1}{2^s} + \dfrac{a_1b_3 + a_3b_1}{3^s} + \dfrac{a_1b_4 + a_2b_2 + a_4b_1}{4^s} + \dots = \sum\limits_{n} \dfrac{\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l}}{n^s}[/math], что в нашем случае равно [math]1 = 1 ^ {-s}[/math]. Получаем, что [math]a_1b_1 = 1[/math], тогда [math]b_1 = \dfrac{1}{a_1}[/math]. Остальные слагаемые равны [math]0[/math]. Рассмотрим их. Известно, что коэффициент перед [math]\dfrac{1}{n^s}[/math] равен [math]\sum\limits_{kl=n} {a_kb_l} = {a_1b_n} + \sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}[/math]. Отсюда [math]{b_n} = -\dfrac{\sum\limits_{kl=n,k\neq 1} {a_kb_l}}{a_1}[/math].

Применение

Производящие функции Дирихле используются в мультипликативной теории чисел. Введение производящей функции Дирихле обусловлено их поведением относительно умножения, что позволяет контролировать мультипликативную структуру натуральных чисел.

Определение:

Мультипликативная последовательность (multiplicative sequence) — последовательность [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], такая что [math]a_{mn} = a_m a_n[/math] для любых чисел [math]m[/math] и [math]n[/math].

Заметим, что для мультипликативных последовательностей [math]a_1=1[/math]. Иначе равенство [math]a_{mn} = a_m a_n[/math] при [math]m=1[/math] не выполнено, если [math]a_1\neq 0[/math] либо превращается в нулевую последовательность, если [math]a_1=0[/math].

Утверждение:

Последовательность [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math] является мультипликативной тогда и только тогда, когда соответствующая ей производящая функция Дирихле имеет вид [math]A(s)= \prod\limits_p(1 + \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_p}{p^ns})[/math], где [math]p[/math] принимает все простые значения.

Примеры

Самой известной среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана.

Определение:

Дзета-функция Римана (англ. The Riemann zeta function) — производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности [math] \{a_n\}_{n=1}^{\infty} [/math], состоящей из единиц: [math]\zeta (s)={\dfrac {1}{1^{s}}}+{\dfrac {1}{2^{s}}}+{\dfrac {1}{3^{s}}}+\ldots ,[/math]

Таблица содержит известные производящие функции. Первая из них — это дзета-функция Римана, состоящая из единиц. [math][\zeta(s)]^2[/math] является последовательностью количества делителей числа. [math]\mu(n)[/math] — последовательность Мёбиуса . [math]H(n)[/math] — последовательность факторизаций числа, [math]\phi(n)[/math] — функция Эйлера.

[math]f(s)[/math]	Последовательность	[math]{a_n}[/math]
[math]\zeta(s)[/math]	[math]1[/math]	[math]1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots[/math]
[math]1/\zeta(s)[/math]	[math]\mu(n)[/math]	[math]1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, \dots[/math]
[math][\zeta(s)]^2[/math]	[math]d(n)[/math]	[math]1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, \dots[/math]
[math]\dfrac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}[/math]	[math]\phi(n)[/math]	[math]1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, \dots[/math]
[math]\dfrac{1}{[2-\zeta(s)]}[/math]	[math]H(n)[/math]	[math]1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots[/math]

Свойства производящих функций Дирихле

Теорема:

Функция Мёбиуса имеет вид: [math]M(s) = \dfrac{1}{\zeta(s)} = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{\mu_n}{n^s}[/math], где [math]\mu_n = \begin{cases} (-1)^{t_n} & \text{где } t_n \text{ равно количеству простых делителей числа} n \text{, если в разложении они не повторяются} \\ 0 & \text{иначе} \end{cases}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Перемножим функции [math]M(s)[/math] и [math]\zeta(s)[/math] и рассмотрим коэффициент при [math]n^{-s}[/math]. Назовём его [math]f_n[/math]. Тогда [math]f_n = \sum\limits_{k=0}^{t_n}(-1)^{k}\dbinom{t_n}{k}[/math]. Действительно, пусть разложение n на простые множители имеет вид [math]n = p^{k_1}_1\cdot\ldots\cdot p^{k_{t_n}}_{t_n}[/math]. Тогда коэффициент при [math]m^{−s}[/math] функции [math]M(s)[/math] участвует в произведении с ненулевым коэффициентом в том и только в том случае, если [math]m[/math]является произведением некоторого подмножества множества простых чисел [math]n = p_1\ldots p_{t_n}[/math]. Число таких подмножеств из [math]k[/math] элементов равно [math]\dbinom{t_n}{k}[/math], а знак соответствующего коэффициента при [math]m^{−s}[/math] равен [math](-1)^{k}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]f_n,g_n[/math] такие, что [math]f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k[/math]. Тогда [math]g_n = \sum\limits_{n\vdots k} \mu_k\cdot f_k[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Равенство [math]f_n = \sum\limits_{n\vdots k} g_k[/math] означает, что [math]F(s) = \zeta(s)\cdot G(s)[/math], где [math]F(s),G(s)[/math] — производящие функции Дирихле для последовательностей [math]\{f_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] и [math]\{g_n\}_{n=1}^{\infty}[/math] соответственно. Домножим левую и правую части на [math]M(s)[/math]. Получаем [math]M(s)\cdot F(s) = M(s)\cdot\zeta(s)\cdot G(s)[/math], а правая часть равна [math]G(s)[/math], так как [math]M(s)[/math] и [math]\zeta(s)[/math] сокращаются по предыдущей теореме.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

[math]\zeta(s) = \prod\limits_{p} \dfrac{1}{1 - p^{-s}}[/math], где [math]p[/math] принимает все простые значения.

[math]\triangleright[/math]

Данное равенство верно, если [math]M(s) = \prod\limits_{p} {(1 - p^{-s})}[/math]. Но последнее равенство доказывается раскрытием скобок. В результирующей последовательности будут участвовать лишь те слагаемые, для которых [math]n[/math] представляется в виде произведения попарно различных простых множителей, а их количество определяет знак. Эта последовательность по определению является последовательностью Мёбиуса.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Производящая функция

Источники информации

• С.К.Ландо, Леции о производящих функциях, 2007 год
• Dirichlet Generating Function
• Dirichlet generating functions