Математическая индукция

Определение

Математическая индукция — способ рассуждения, применяемый, в частности, в математическом анализе, заключающийся в следующем:

Пусть имеется последовательность свойств [math] P_1, P_2 \dots P_n \dots [/math]

1. [math] P_1 [/math] — истина
2. [math] P_k \Rightarrow P_{k+1} [/math] — шаг индукции
3. Тогда все [math] P_n [/math] — истинны

Примеры использования

Неравенство Бернулли

Утверждение (неравенство Бернулли):

[math] \forall n \in N; \forall x \gt -1 : {(1 + x)}^n \ge 1 + nx [/math]

[math]\triangleright[/math]

[math] n = 1: 1 + x \ge 1 + x [/math] — верно [math] {(1 + x)}^{n + 1} = {(1 + x)}^n (1 + x) \ge (1 + nx) (1 + x) = [/math] [math] = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n + 1)x + nx^2[/math], так как [math] nx^2 \ge 0 [/math], то [math] {(1 + x)}^{n + 1} \ge 1 + (n + 1)x [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Конечный бином Ньютона

Для того, чтобы сформировать следующее утверждение, определим систему чисел, называемую биномиальными коэффициентами:

[math] 0! = 1 \\ n! = n(n-1)! = n (n-1) (n-2) \dots 1 [/math]

[math] m \le n: C_n^m = \frac {n!} {(n-m)!m!} \\ \\ C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1} = \\ = C_n^m + C_n^{m-1} = \frac {n!} {(n-m)!m!} + \frac {n!} {(n-m+1)!(m-1)!} = \\ = \frac {n!((n - m + 1) + m)} {m!((n+1) - m)!} = \frac {n!(n+1)} {((n+1)-m)!m!} = C_{n+1}^m [/math]

Утверждение (конечный бином Ньютона):

[math]a, b \in R; n \in N : {(a + b)}^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n - k} [/math]

[math]\triangleright[/math]

Для n = 1 — очевидно [math] {(a + b)}^{n + 1} = a{(a + b)}^n + b{(a + b)}^n = [/math] [math] = \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^{k + 1} b^{n - k} + \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k a^k b^{n - k + 1} = [/math] [math] = \sum\limits_{j = 1}^{n + 1} C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + \sum\limits_{i = 0}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = [/math] [math] = C_n^n a^{n + 1} b^0 + \sum\limits_{j = 1}^n C_n^{j - 1} a^j b^{n - j + 1} + C_n^0 a^0 b^{n+1} + \sum\limits_{i = 1}^n C_n^i a^i b^{n - i + 1} = [/math] [math] = 1 (a^{n + 1} + b^{n + 1}) + \sum\limits_{j = 1}^n (C_n^{j - 1} + C_n^j) a^j b^{n - j + 1}[/math] Так как [math]1 = C_{n + 1}^{n + 1} = C_{n + 1}^0 [/math] , то [math] = C_{n + 1}^{n + 1} a^{n + 1} b^0 + C_{n + 1}^0 a^0 b^{n + 1} + \sum\limits_{j = 1}^n C_{n + 1}^j a^j b^{n - j + 1}[/math] Занесем первые два слагаемых под знак суммы и получим: [math] = \sum\limits_{j = 0}^{n + 1} C_{n + 1}^j a^j b^{n + 1 - j}[/math] , что есть разложение для [math] {(a + b)}^{n + 1} [/math]

[math]\triangleleft[/math]