Представление функции класса DM с помощью медианы

Задача из ДЗ №2. Доказать, что любую монотонную самодвойственную функцию(self-Dual, Monotone), можно представить с использованием медианы(majority function, median operator).

Для n = 1, удовлетворяют DM [math] p_1. p_1 = \lt x, x, x\gt [/math].

Для n = 2, удовлетворяют DM [math] p_1, p_2. p_1 = \lt x, x, y\gt . p_2 = \lt x, y, y\gt [/math].

Для n = 3, удовлетворяют DM [math] p_1, p_2, p_3 [/math] и собственно медиана. [math] p_1 = \lt x, x, y\gt , p_2 = \lt x, y, y\gt , p_3 = \lt x, z, z\gt [/math].

Теперь рассмотрим произвольную монотонную самодвойственную функцию [math] f : \mathbb{B}^n \rightarrow \mathbb{B} [/math] для n > 3. Обозначим аргументы [math] x_4, x_5 \dots x_n [/math] за [math] \bar x [/math], то есть [math] f(x_1, x_2, x_3, x_4 \dots x_n) = f(x_1, x_2, x_3, \bar x) [/math]. Тогда введем три функции от n - 1 аргумента:

[math] f_1(x, y, \bar x) = f(x, y, y, \bar x) [/math]

[math] f_2(x, y, \bar x) = f(y, x, y, \bar x) [/math]

[math] f_3(x, y, \bar x) = f(y, y, x, \bar x) [/math]

Очевидно, они также самодвойственны и монотонны из определения f, и f можно выразить одной из функций [math] f_1, f_2, f_3 [/math], так как 2 из 3 аргументов точно совпадут. Теперь выразим f через [math] f_1, f_2, f_3 [/math]:

[math] f(x_1 \dots x_n) = \lt f_1(x_1, x_2, \bar x), f_2(x_2, x_3, \bar x), f_3(x_3, x_1, \bar x)\gt [/math]

Докажем, что это так. Для удобства обозначений пусть [math] x_1 = a, x_2 = b, x_3 = c [/math]. Тогда есть несколько случаев:

• [math] a = b = c [/math]. Очевидно, выполняется.
• [math] a = b \ne c [/math]. Тогда:

  [math] f = f(a, a, c, \bar x). f_1 = f(a, a, a, \bar x), f_2 = f(c, a, c, \bar x), f_3 = f(a, a, c, \bar x). [/math] Получили 2 случая:

  • [math] a = b = 0, c = 1. [/math]

    Тогда можно упорядочить [math] f_1, f_2, f_3 [/math] по возрастанию наборов их переменных(используя свойство их монотонности):

    [math] f(0, 0, 0, \bar x) \le f(0, 0, 1, \bar x) \le f(1, 0, 1, \bar x) [/math]. Так как [math] f(0, 0, 1, \bar x) [/math] - между остальными, то оно и будет медианой [math] f_1, f_2, f_3 [/math].

  • [math] a = b = 1, c = 0 [/math]. Доказывается аналогично.
• [math] a = c \ne b [/math] - симметричный случай.
• [math] b = c \ne a [/math] - симметричный случай.

Все!

P.S. У меня такое чувство, что классу DM принадлежат только проекторы и их комбинации(точнее, дизъюнкция попарных конъюнкций). Если представить вектора значений аргументов в виде n - мерного куба, то если функция на всех его гранях, содержащих вершину [math] (1 \dots 1) [/math], будет равна 1, то на противоположной грани, везде будет 0. Это для проекторов. А дизъюнкция попарных конъюнкций проекторов - попарные пересечения граней, то есть все ребра n-мерного куба, содержащие вершину [math] (1 \dots 1) [/math]. Такая функция также будет самодвойственной и монотонной. Не знаю только как более математически это обосновать. Не, это немного гон, хотя проекторы действительно такие.

Вот 1й проектор для n = 4.

А вот и второй:

И какая-то левая функция:

Внезапно, количество таких функций при каждом n.