Предел отображения в метрическом пространстве

Эта статья находится в разработке!

Подмножества метрического пространства

Если [math] (X, \rho) [/math] — метрическое пространство, то [math]\forall Y \subset X : (Y, \rho)[/math], очевидно, тоже метрическое пространство.

Окрестность точки в метрическом пространстве

Пусть [math]x \in A[/math]. Тогда [math]A[/math] — окрестность точки [math]x[/math], если существует открытый шар [math]V: x \in V \subset A [/math]

[math]O(x)[/math] — окрестность точки [math]x[/math].

Примеры

• Любой открытый шар [math] V_r(x) [/math] является окрестностью точки [math]x[/math].

• Числовая прямая — окрестность любого числа.

Предельная точка

Определение:

Рассмотрим [math]A \subset X[/math]. Тогда [math]b \in X[/math] — предельная точка для [math]A[/math], если в любой окрестности [math]O(b)[/math] содержится бесконечное число точек, принадлежащих [math]A[/math].

Примеры

1. [math] X = \mathbb R, A = (0; 1);\ 0 \notin A[/math], [math]0[/math] — предельная точка(как и [math]1[/math], например).
2. Пусть [math] A \subset X[/math] и [math]\ a [/math] — предельная точка [math]A[/math]. Рассмотрим два метрических пространства [math] (X,\rho) [/math] и [math] (Y, \tilde \rho) [/math].

Пусть [math] f: A \rightarrow Y, b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y[/math] , т.е. [math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho(x, a) \lt \delta \Rightarrow \tilde \rho(f(x), b) \lt \varepsilon [/math].

Так как [math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math], то у нас есть гарантии, что [math]0 \lt \rho(x, a) \lt \delta[/math] выполнимо для бесконечного числа точек [math] x \in A[/math]. Отметим: если [math]a \in A[/math], то [math]f(a)[/math] нас не интересует.

Например: [math]\mathbb R : f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a[/math] — предельная точка.

[math]\forall \varepsilon \gt 0\ \ \exists \delta \gt 0 : 0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - b| \lt \varepsilon [/math]

Если при [math]a \in A выполняется \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)[/math], тогда говорят, что отображение [math]f[/math] непрерывно в точке [math]a[/math].

Если [math]f[/math] имеет предел, то в ситуации общих МП:

1. Предел сложного отображения.

   [math] A \subset X,\ B \subset Y, Z[/math]. [math]X, Y, Z[/math] — МП, у каждого своя метрика.

   [math]a[/math] — предельная точка [math]A[/math], [math]b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)[/math], тогда [math]b[/math] предельная у B, при этом:

[math]g: B \rightarrow Z. \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) [/math]

[math]Z = g(f(x)) [/math]

[math]f: A \Rightarrow B, f(x) \ne b, x \in A[/math]

[math]g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y): [/math]

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta_1 \gt 0 : 0 \lt \bar \rho (y, b) \lt \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) \lt \varepsilon \\ \forall \delta_1 \gt 0 \, \exists \delta \gt 0 : 0 \lt \rho (x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) \lt \delta_1 [/math]

[math]f(x) \ne b \Rightarrow 0 \lt \bar \rho (f(x), b) \lt \delta_1 [/math], а тогда [math]y = f(x) [/math]

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho (x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) \lt \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d [/math]( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции) [math]\Rightarrow[/math] сложная фукнция от двух непрерывных — непрерывна.

[math] f(x) = \rho(x, a) [/math]

[math] f: X \rightarrow R_+ [/math]

Проверим, что \forall x f - непрерывное отображение. Доказательство:

[math] \rho(x_2, a) \lt = \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) [/math]

[math] \rho(x_1, a) \lt = \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) [/math]

[math] |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| \lt = \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \lt = \rho(x_2, x_1) [/math]

[math] |f(x_2) - f(x_1)| \lt = \rho(x_2, x_1) \forall x \Rightarrow f(x) [/math] непрерывна

[math] \delta = \varepsilon [/math] - используем определение непрерывности отображения, полагаем в предыдущем неравенстве [math] x_1 = x, x_2 = x_0 [/math](мы доказываем непрерывность в точке [math] x_0 [/math]) и радуемся жизни.

[math] f(x) = \rho(x, A) =(def) inf \rho(x, a), a \in A [/math] - расстояние от x до A.

[math] f(x) [/math] - непрерывна, Док-во: [math] f(x) \lt = \rho(x, a), a \in A [/math]

[math] \rho(x_1, A) \lt = \rho(x_2, A) + \rho(x_2, x_1) [/math]

[math] \rho(x_2, A) \lt = \rho(x_1, A) + \rho(x_2, x_1) [/math]

[math] |\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| \lt = \rho(x_1, x_2) \Rightarrow f(x) [/math] непрерывна при?????

Утверждение: F - замкнуто [math] \Rightarrow x \in F \Leftrightarrow \rho(x, F) = 0 [/math]

TODO: непонятно. у Артема в конспекте написано что доказательство - упражнение на дом, но у Вали в конспекте что- то есть. Тут надо проверить, правда ли это:

[math] \rho(x, F) = inf \rho(x, a), a \in F [/math]

[math] \rho(x, x) = 0, \rho \gt = 0 \Rightarrow inf ?????? \rho(x, F) = 0, \Leftarrow x \in F [/math]

Обратно:

[math] x \in F \Rightarrow \rho(x, x) = 0 ; inf \rho(x, a) = 0 (т.к. \rho \gt = 0) \Rightarrow \rho(x ???? \forall a \in F [/math]

Теорема (о нормальности МП):

Любое МП - нормальное. Пусть [math] (X, \rho) [/math] - МП. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math], F_1, F_2 - замкнутые [math] \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_j \in G_j , j = 1, 2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} [/math]. Т.к. [math] F_1 \cap F_2 = \varnothing [/math] и [math] F_1, F_2 [/math] - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, [math] f(x) [/math] корректна и непрерывна в силу непрерывности [math] \rho [/math]. При этом: [math] x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 [/math]. Рассмотрим на R пару интервалов: [math] (- \infty; \frac 1 3) [/math] и [math] (\frac 1 2, + \infty) [/math]. Т.к. [math] f(x) [/math] неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество. [math] G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) [/math] [math] F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Свойства непрерывных отображений

1)

Определение:

Пусть [math] (X, \rho) [/math] - МП. [math] K \in X [/math] является компактом в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] x_n: \lim x_n \in K [/math].

[math] [a, b] [/math] на [math] \mathbb{R} [/math] - классический пример. Легко видеть что если K - компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Ограниченное множество можно пометить в шар. Обратное не верно в общем случае.

2)

Определение:

[math] A \in X [/math] является связным, если нельзя подобрать пару [math] G_1, G_2 \in \tau: G_1 \cap G_2 = \varnothing, A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) [/math]

Например, любой промежуток на R - связное множество.

Теорема (свойство связанного множества):

Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках. Пусть A - связное в R. Пусть [math] a, b \in A [/math]. Если [math] \forall c \in (a, b): c \in A [/math], свойство верно.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] G_1 \cup G_2 = R \backslash \{c\}, c \in A. A = (A \cap G_1) \cup (A \cap G_2) \Rightarrow A [/math] не связно, получили противоречие, [math] c \in A [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Эти классы определены, т.к:

Теорема:

Пусть K - компакт в [math] (Y, \rho'); f: K \rightarrow(neprerivno) (Y, \rho') \Rightarrow f(K) [/math] - компакт в [math] (Y, \rho') [/math]( непрерывный образ K есть K).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math] y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K [/math]. [math] \exists x_{nk} \rightarrow x \in K [/math]. По непрерывности [math] f(K): y_{nk} = f(x_{nk}) \rightarrow y = f(x) \in f(K) [/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Определение: равномерно - непрерывные отображения