Асимптотика гипергеометрических последовательностей

Определение:

Последовательность, в которой отношение двух соседних членов [math]\cfrac {a_{n + 1}}{a_n}[/math] равно отношению многочленов степени [math]k[/math], где [math]k \gt 0[/math] и [math]n[/math] - порядковый номер члена последовательности, называется гипергеометрической (англ. hypergeometric sequence).

Вычисление асимптотики

Лемма:

Пусть последовательность [math]a_0, a_1, \ldots[/math] положительных чисел такова, что [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\cfrac{n^k + \alpha_1 \cdot n^{k-1} + \ldots + \alpha_k}{n^k+ \beta_1 \cdot n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}[/math] для всех достаточно больших [math]n[/math], причем [math]\alpha_1 \ne \beta_1[/math]. Тогда [math]a_n[/math] растет как [math]a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] для некоторой постоянной [math]c\gt 0[/math]. Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы [math]c[/math]. Действительно, умножив последовательность [math]a_n[/math] на произвольную постоянную [math]d \gt 0[/math], мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа [math]c[/math] для которой увеличивается в [math]d[/math] раз.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим предел [math]\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}[/math]. При [math]a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] для некоторого [math]c[/math] данный предел будет существовать и равен [math]c[/math]. С другой стороны, из определения существования предела на бесконечности следует, что он равен некоторому [math]c[/math], то есть [math]\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = c[/math]. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел [math]\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}[/math]. Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела [math]\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n )}[/math]. Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Перепишем отношение [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}[/math] в виде [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)[/math], где [math]f(x)=\cfrac{1 + \alpha_1 \cdot x + \ldots + \alpha_k \cdot x^k}{1 + \beta_1 \cdot x + \ldots + \beta_k \cdot x^k}[/math] Прологарифмировав отношение [math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}[/math], получаем [math]\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f\left(\cfrac{1}{n}\right)[/math]. Посмотрим на функцию [math]\ln f(x)[/math]. Выпишем начальные члены разложения функции [math]f[/math] в ряд в точке [math]0[/math]: [math]f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x + \gamma \cdot x^2 + \ldots [/math] для некоторой константы [math]\gamma[/math]. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент [math]\alpha_1 - \beta_1[/math](отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя [math]n^{\alpha_1-\beta_1}[/math] в асимптотике. Для логарифма функции [math]f[/math] имеем [math]\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1) \cdot x+\tilde{\gamma} \cdot x^2 + \ldots[/math] Поэтому для некоторой постоянной [math]C[/math] при достаточно маленьком [math]x[/math] имеем [math]|\ln f(x) - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x|\lt C \cdot x^2[/math]. В частности, если [math]N[/math] достаточно велико, то [math]∀ n\gt N[/math] получаем систему [math](*)[/math] [math] \begin{equation*} \begin{cases} \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{n^2}, \\ \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}, \\ \ldots \\ \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}. \\ \end{cases} \end{equation*} [/math] Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства [math]|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n| \lt ε [/math] можно оценить с помощью системы [math](*)[/math] и неравенства треугольника: [math]\left| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot ( \ln {(n+m)} - \ln n) \right| =[/math] [math]= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - [/math] [math] - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot (\ln {(n+m)} - \ln n) \Bigg| \leqslant[/math] [math]\leqslant \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| + \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| +[/math] [math]\ldots[/math] [math]+ \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right| \leqslant[/math] [math]\leqslant C \cdot \left(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}\right) + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right|[/math]. Поскольку ряд [math]\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}[/math] сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших [math]n[/math] можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции [math]\cfrac{1}{[x]}[/math] на отрезке [math][n, n+m][/math], График функции [math]y = \cfrac{1}{[x]}[/math] на отрезке [math][n, n + m][/math] (Здесь через [math][x][/math] обозначена целая часть числа [math]x[/math], наибольшее целое число, не превосходящее [math]x[/math].) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x}[/math], но меньше, чем площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x-1}[/math] на этом же отрезке. Площадь под графиком функции [math]\cfrac {1}{x}[/math] равна [math]\ln {(n + m)} - \ln {n}[/math], площадь под графиком функции [math]y = \cfrac{1}{x-1}[/math] равна [math]\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}[/math]. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит [math]\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n) \right| =[/math] [math]= \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| \lt [/math] [math]\lt \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| \lt C \cdot \cfrac{1}{n}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Пример. Рассмотрим производящую функцию для чисел Каталана

[math]A(s) = 1 + s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + \ldots [/math]

Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, получим

[math]s \cdot A^2(s) = s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + 14 \cdot s^4 + \ldots = A(s) - 1[/math],

что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию

[math]s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 = 0,[/math]

откуда

[math]A(s) = \cfrac {1 - \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s}[/math]

Второй корень уравнения отбрасывается, так как [math]\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots[/math] содержит отрицательные степени [math]s[/math]

Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для чисел Каталана. Согласно биному Ньютона

[math]a_n = \cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},[/math]

откуда, умножая на числитель и знаменатель на [math]n![/math] и сокращая на [math]2^{n + 1}[/math], получаем

[math]a_n = \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}[/math]

Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для чисел Каталана:

[math]\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4 \cdot n + 2}{n+2}=4 \cdot \cfrac{ n + \cfrac{1}{2}}{n+2}[/math]

Поэтому [math]c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}[/math] для некоторой постоянной [math]c[/math].

Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции [math](a-s)^{\alpha}[/math], где [math]\alpha[/math] вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при [math]\alpha=−1[/math]. Согласно определению функции [math](1-s)^{\alpha}[/math] имеем

[math](a-s)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1-\cfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1 - \cfrac{\alpha}{1!} \cdot \cfrac{s}{a} + \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1)}{2!} \cdot {\left(\cfrac{s}{a}\right)^2} - \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot (\alpha-2)}{3!} \cdot \left(\cfrac{s}{a}\right)^3 + \ldots \right)[/math]

Если [math]\alpha[/math] — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае, начиная с некоторого номера, все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при [math]a_n=(-1)^n \cdot \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n! \cdot {\alpha}^n}:[/math]

[math]\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}[/math]

Поэтому [math]a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}[/math]. Например, коэффициенты функции [math]-(1-4 \cdot s)^{\dfrac{1}{2}}[/math] ведут себя как [math]c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}[/math], и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.

См. также

• Производящая функция
• Числа Каталана

Источники информации

• Ландо С.А., Лекции о производящих функциях, 2007 год