Покрытие рёбер графа путями

Покрытие ребер графа путями

Следующее утверждение являются следствием из критерия Эйлеровости графа:

Теорема:

Пусть [math]G[/math] — почти связный граф, в котором [math]2N[/math] вершин имеют нечетную степень. Тогда множество ребер [math]G[/math] можно покрыть [math]N[/math] реберно простыми путями.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Необходимость Докажем, что [math]G[/math] можно покрыть [math]N[/math] реберно-простыми цепями. Добавим в [math]G[/math] [math]N[/math] ребер [math]uv[/math] таких, что [math]uv[/math] ∉ [math]G[/math] и степени вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в [math]G[/math] появится Эйлеров цикл [math]c[/math]. Удалим из [math]c[/math] добавленные ребра. Тогда цикл [math]c[/math] распадется на [math]N[/math] путей, которым будут принадлежать все ребра [math]G[/math]. Достаточность Докажем, что [math]G[/math] нельзя покрыть менее, чем [math]N[/math] реберно-простыми путями. Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей [math]p_1, p_2, ... p_k, k \lt N[/math], такой что он покрывает все ребра [math]G[/math]. Пусть [math]i-[/math]й путь из этого набора имеет вид [math] w_i = u_{i_0} \rightarrow u_{i_0}u_{i_1} \rightarrow u_{i_1} \rightarrow ... \rightarrow u_{i_l}[/math]. Добавим в [math]G[/math] все ребра вида [math]u_{i_l}u_{{i+1}_0}[/math] и ребро [math]u_{k_l}u_{1_0}[/math]. В новом графе появится Эйлеров цикл. Всего будет добавлено [math]k[/math] ребер, которые изменят четность не более, чем [math]2k[/math] вершин. Т.к. [math]k \lt N[/math], то в графе останутся вершины нечетной степени. Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше [math]N[/math], не существует.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов

Источники

1. Ф.Харари. Теория графов. Москва, издательство "Едиториал УРСС". 2003 г.