Список заданий по ДМ 2к 2020 осень

1. Постройте граф с $n$ вершинами, $m$ ребрами и $k$ компонентами связности. Здесь и далее "постройте граф с $n$ вершинами, ..." означает, что вы должны рассказать способ для любого $n$ построить искомый граф, либо рассказать, для каких $n$ такой граф существует и указать способ его построить, а для остальных $n$ доказать, что такого графа не существует. Аналогично следует поступить с другими параметрами, указанными в условии задачи.
2. Обозначим как $N(u)$ множество соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N(u)$ совпадают для всех вершин $u$.
3. Обозначим как $N[u]$ множество, содержащее вершину $u$, а также соседей вершины $u$. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором множества $N[u]$ совпадают для всех вершин $u$.
4. Постройте граф с $n$ вершинами, где каждая вершина имеет степень $d$.
5. Докажите, что любой граф, содержащий хотя бы две вершины, имеет две вершины одинаковой степени.
6. Обозначим как $\delta(G)$ минимальную степень вершины в графе, как $\Delta(G)$ - максимальную степень вершины в графе. Постройте граф с $n$ вершинами, в котором $\delta(G) + \Delta(G) > n$.
7. Докажите, что если в графе с $n$ вершинами $\delta(G) > (n - 1) / 2$, то он связен.
8. Докажите, что для любого графа $G$ можно записать в каждой вершине $u$ такое число $d(u)$, что числа $d(u)$ и $d(v)$ имеют общий делитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда в графе $G$ есть ребро $uv$.
9. Граф называется кубическим, если степень всех вершин равна 3. Три вершины графа образуют треугольник, если они попарно соединены ребром. Постройте кубический граф с $n$ вершинами, не содержащий треугольников.
10. Граф называется самодополнительным, если он изоморфен своему дополнению. Приведите примеры самодополнительных графов с 4 и 5 вершинами. Докажите, что если граф является самодополнительным, то он содержит либо $4n$ либо $4n+1$ вершину для некоторого целого положительного $n$.
11. Докажите, что для любого целого положительного $n$ существует самодополнительный граф, содержащий $4n$ вершин, а также самодополнительный граф, содержащий $4n+1$ вершину.
12. Докажите, что граф связен тогда и только тогда когда для любого разбиения его множества вершин $V$ на два непустых непересекающихся множества $X$ и $Y$ существует ребро, соединяющее эти множества.
13. Докажите, что в связном графе любые два самых длинных простых пути имеют общую вершину.
14. Докажите или опровергните, что в связном графе все простые пути, имеющие максимальную возможную длину в этом графе, имеют общую вершину.
15. Докажите, что либо граф $G$, либо его дополнение $\overline{G}$ связен.
16. Будем говорить, что $G$ связан короткими путями, если между любыми двумя вершинами в $G$ есть путь длины не более 3. Докажите, что либо $G$, либо $\overline G$ связан короткими путями.
17. Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем нечётных простых циклов.
18. Найдите максимальное число ребер в графе с $n$ вершинами, не содержащем чётных простых циклов.
19. Докажите, что граф с $n$ вершинами и $n + 4$ ребрами содержит два простых цикла, не имеющих общих ребер.
20. Докажите, что наименьшее число вершин в кубическом графе, в котором есть мост, равно 10.
21. Доказать или опровергнуть, что если ребро $uv$ - мост, то $u$ и $v$ - точки сочленения.
22. Доказать или опровергнуть, что если $u$ и $v$ - точки сочленения, то $uv$ - мост.
23. Рассмотрим отношение на рёбрах - $R$. $ab R cd$, если 1) $ab$ и $cd$ имеют общую вершину; 2) $ab$ и $cd$ лежат на цикле. Доказать, что вершинная двусвязность - это $R^*$.
24. Доказать, что ребро $uv$ - мост тогда и только тогда, когда $uv$ вершинно двусвязно только с самим собой.
25. Каждое дерево является двудольным графом. А какие деревья являются полными двудольными графами?
26. Докажите, что любой кубический граф, который содержит точку сочленения, содержит также мост.
27. Докажите, что если $v$ точка сочленения в $G$, то $v$ не точка сочленения в $\overline G$.
28. Докажите, что число помеченных неподвешенных деревьев есть $n^{n-2}$, используя теорему Кирхгофа.
29. Сколько остовных деревьев у полного двудольного графа $K_{n,m}$?
30. Какое максимальное количество попарно непересекающихся остовных деревьев может быть в графе с $n$ вершинами?
31. Диаметром графа называют максимальное значение кратчайшего пути между двумя его вершинами. Пусть связный граф $G$ имеет диаметр $d$. Докажите или опровергните, что у $G$ есть остовное дерево с диаметром $d$.
32. Рассмотрим множество остовных деревьев связного графа $G$. Построим граф $S_G$, вершинами которого являются остовные деревья $G$, а две вершины $T_1$ и $T_2$ соединены ребром, если дерево $T_2$ можно получить из $T_1$ удалением одного ребра и добавлением другого. Докажите, что $S_G$ является связным.
33. Докажите, что две вершины $T_1$ и $T_2$ в $S_G$ соединены ребром тогда и только тогда, когда их объединение содержит ровно один простой цикл.
34. Пусть связный граф $G$ содержит $n$ вершин, докажите, что диаметр $S_G$ не превышает $n - 1$.
35. Приведите пример связного графа $G$, содержащего $n$ вершин, для которого граф $S_G$ имеет диаметр $n - 1$.
36. Докажите, что для любого $1 \le k \le n - 1$ существует связный граф $G$, содержащий $n$ вершин, такой что диаметр $S_G$ равен $n - k$.
37. Докажите, что если в связном графе есть реберно простой цикл длины $k$, то у графа есть не менее $k$ остовных деревьев.
38. Обобщение формулы Кэли. Дан лес, компоненты связности которого имеют размеры $c_1, c_2, \ldots, c_k$. Докажите, что число способов добавить ребра, чтобы получилось дерево, равно $c_1c_2\ldots c_k(c_1+c_2+\ldots+c_k)^{k-2}$.
39. Граф называется произвольно вычерчиваемым из вершины $u$, если следующая процедура всегда приводит к эйлеровому циклу: начиная с вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, по которому ранее не проходили. Докажите, что эйлеров граф является произвольно вычерчиваемым из $u$, если любой его простой цикл содержит $u$.
40. Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то $u$ имеет максимальную степень в $G$.
41. Докажите, что если граф $G$ является произвольно вычерчиваемым из $u$, то либо $u$ - единственная точка сочленения в $G$, либо в $G$ нет точек сочленения.
42. Порожденным (также индуцированным) подграфом называется подграф, полученный удалением некоторого множества вершин и всех инцидентных ребер. Докажите или опровергните, что если $G$ содержит порожденный тета-подграф (две вершины, соединенные тремя путями произвольной длины), то $G$ не гамильтонов.
43. Обозначим как $G^3$ граф, в котором две вершины соединены, если они соединены в $G$ путем длины не более 3. Докажите, что если $G$ связен, то $G^3$ гамильтонов.
44. Граф называется произвольно гамильтоновым, если следующая процедура всегда приводит к гамильтонову циклу: начиная с произвольной вершины $u$, переходим каждый раз по любому исходящему из текущей вершины ребру, другой конец которого мы ранее не посещали, либо обратно в вершину $u$, если непосещенных соседей нет. Опишите все произвольно гамильтоновы графы.
45. Будем называть последовательность $(d_1, \ldots, d_n)$ степенной последовательностью, если существует граф с такими степенями вершин. Приведите критерий, проверяемый за полиномиальное время, что заданная последовательность является степенной.
46. Теорема "Антихватала". Докажите, что если для степенной последовательности не выполнено условие теоремы Хватала, то найдется граф с такой степенной последовательностью, не содержащий гамильтонова цикла.
47. Докажите, что если сумма степеней любых двух несмежных вершин графа $G$ не меньше $n+1$, то любые две различные вершины $G$ можно соединить гамильтоновым путем.
48. Реберным графом для графа $G$ называется граф $G_E$, множество вершин которого совпадает с множеством ребер исходного графа, два ребра $e$ и $f$ соединены ребром в реберном графе, если у них есть общая инцидентная вершина. Докажите или опровергните, что если $G$ является эйлеровым, то реберный граф является гамильтоновым.
49. Докажите или опровергните, что если $G_E$ является гамильтоновым, то граф $G$ является эйлеровым.
50. В каком случае ребра реберного графа можно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы каждая вершина принадлежала в точности двум из подграфов?
51. Выразите число треугольников в реберном графе $G_E$ через число треугольников графа $G$ и набор его степеней.
52. В каком случае связный граф $G$ имеет регулярный реберный граф?
53. Постройте связный граф $G$ с $n \ge 4$ вершинами, для которого граф $G_E$ не эйлеров, а граф $(G_E)_E$ эйлеров.
54. Докажите, что если $G$ содержит $n \ge 5$ вершин, то если $(G_E)_E$ эйлеров, то и $((G_E)_E)_E$ эйлеров.
55. Постройте минимальный по числу ребер граф, в реберном графе которого нет гамильтонова цикла.
56. Докажите, что $G_E$ гамильтонов тогда и только тогда, когда граф $G$ содержит циклический реберно простой путь, содержащий для каждого ребра графа $G$ хотя бы одну вершину, ему инцидентную.
57. Обозначим как $\lambda(G)$ минимальное число ребер, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность, $\kappa(G)$ - минимальное число вершин, которое нужно удалить в графе, чтобы он потерял связность (для полного графа полагаем $\kappa(G)=n-1$). Докажите, что $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$.
58. Докажите. что для любых $1 \le \kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ существует граф $G$ с такими параметрами.
59. Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и $7$ ребрами.
60. Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.
61. Графы $G_1$, содержащий $n_1$ вершин и $m_1$ ребер, и $G_2$, содержащий $n_2$ вершин и $m_2$ ребер, гомеоморфны. Докажите, что $n_1+m_2 = n_2+m_1$.
62. Рассмотрим параметрически заданную замкнутую кривую $\phi(t)$, будем говорить, что она имеет самопересечение, если есть точка на кривой, которая порождается двумя различными значениями параметра $t_1$ и $t_2$, причем в окрестности этой точки фрагменты кривой в окрестности параметра $t_2$ лежат по разную сторону от кривой в окрестности параметра $t_1$. Докажите, что планарный эйлеров граф содержит эйлеров цикл, не имеющий самопересечений.
63. Приведите пример вершинно двухсвязного планарного графа, который не является гамильтоновым.
64. Докажите, что планарный четырехсвязный граф гамильтонов.
65. Пусть $G$ - планарный граф, в котором каждый треугольник ограничивает область, не содержащую ребер, причем добавление любого ребра нарушает это свойство. Докажите, что $G$ гамильтонов.
66. Докажите, что любой трехсвязный планарный граф имеет остов, у которого наибольшая степень равна 3.
67. Докажите, что все колеса самодвойственны.
68. Уложите четырехмерный куб на поверхности тора
69. Уложите $K_7$ на поверхности тора
70. Докажите, что $K_8$ нельзя уложить на поверхности тора
71. Найдите максимальное $k$, что граф $K_k$ можно уложить на сфере с двумя ручками.
72. Докажите, что для любого $m$ существует $k$, такое что граф с $K_k$ нельзя уложить на сфере с $m$ ручками.
73. Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
74. Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
75. Посчитать хроматический многочлен полного двудольного графа $K_{n,m}$.
76. Приведите пример двух связных графов, которые не являются деревьями, не являются изоморфными и имеют одинаковые хроматические многочлены.
77. Докажите, что если длина максимального простого нечетного цикла в $G$ есть $k$, то $\chi(G)\le k + 1$.
78. Если степени вершин графа $G$ равны $d_1 \ge d_2 \ge \ldots \ge d_n$, то $\chi(G)\le \max\min\{i, d_i+1\}$.
79. Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б) $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .
80. Конъюнкцией $G_1 \wedge G_2$ графов называется граф с $V = V_1 \times V_2$, $(u_1, u_2)-(v_1, v_2) \in E$, если $u_1v_1 \in E_1$ и $u_2v_2\in E_2$. Доказать, что хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
81. Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетны. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
82. Докажите, что в любой раскраске реберного графа каждая вершина смежна не более чем с двумя вершинами одного цвета
83. Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
84. Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
85. Граф называется однозначно раскрашиваемым, если любые две его раскраски в $\chi(G)$ цветов совпадают с точностью до переименования цветов. Приведите пример однозначно раскрашиваемого связного графа и связного графа, который не является однозначно раскрашиваемым
86. Какое минимальное число вершин может быть в однозначно раскрашиваемом в 3 цвета графе, отличном от полного графа?
87. Какое минимальное число ребер может быть в однозначно раскрашиваемом в $k$ цветов графе с $n$ вершинами?
88. Доказать или опровернгнуть: любое вершинное покрытие содержит как подмножество минимальное по мощности вершинное покрытие.
89. Доказать или опровергнуть: если в $G$ содержится реберно простой замкнутый путь, содержащий вершинное покрытие, то его реберный граф $E_G$ гамильтонов.
90. Докажите, что $\alpha(G) \ge \frac{n}{1+\Delta(G)}$.
91. Докажите, что $\alpha(G) \ge \sum (1 + \deg u)^{-1}$.
92. Как может поменяться $\alpha(G)$ при удалении ребра? Удалении вершины? Добавлении ребра?
93. Верно ли, что для двудольного графа значение $\alpha(G)$ равно размеру максимальной доли?
94. Докажите, что $G$ двудольный тогда и только тогда, когда для любого $H$ - подграфа $G$ выполнено $\alpha(H) \ge |VH|/2$ ($VH$ - множество вершин графа $H$).
95. Докажите, что если в дереве расстояние между двумя любыми листьями четно, то в нем существует единственное максимальное по числу вершин независимое множество. Верно ли обратное?
96. Зафиксируем $n$ и $k$. Рассмотрим граф, удовлетворяющий следующим условиям: (1) граф $G$ содержит $n$ вершин; (2) $\alpha(G) \le k$. Среди таких графов рассмотрим граф с минимальным числом ребер. Этот граф называется граф Турана. Докажите, что в графе Турана любые две смежные вершины имеют равную степень.
97. Степень любых двух несмежных вершин в графе Турана отличается не более чем на $1$.
98. Оцените, сколько ребер в графе Турана.
99. Граф называется $\alpha$-критическим, если удаление любого ребра увеличивает $\alpha(G)$. Приведите пример $\alpha$-критического и не $\alpha$-критического графа.
100. Докажите, что в любом дереве, кроме $K_2$ существует минимальное по числу вершин вершинное покрытие, включающее все вершины, соседние с листьями.
101. Доминирующим множеством в графе называется множество вершин, такое что каждая вершина либо входит в это множество, либо имеет соседа в этом множестве. Докажите, что независимое множество вершин является максимальным по включению если и только если оно является доминирующим.
102. Обозначим размер минимального доминирующего множества в графе как $\gamma(G)$. Как связаны $\alpha(G)$ и $\gamma(G)$?
103. Докажите, что если в графе $G$ нет изолированных вершин, и $A$ - минимальное по включению доминирующее множество в $G$, то существует $B$, не имеющее общих вершин с $A$, также являющееся минимальным по включению доминирующим множеством в $G$.
104. Обозначим размер минимального по мощности покрывающего множества в графе как $\beta(G)$. Как связаны $\gamma(G)$ и $\beta(G)$?
105. Пусть $G$ - связный кубический граф, в котором не более двух мостов. Тогда в $G$ существует совершенное паросочетание.
106. Приведите пример связного кубического графа, содержащего три моста, в котором нет совершенного паросочетания.